3.1.2 概率的意义教学实录

3．1.2 概率的意义

1．问题导航

(1)概率的定义是什么？

(2)什么叫小概率事件？

(3)什么叫极大似然法？

2．例题导读

思考1：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？

提示：不一定，因为抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上．

1思考2：如果某种彩票的中奖概率是，那么买1 000张这种彩票一定能中奖吗？

1 000提示：不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖．买彩票中奖的概率为1/1 000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1 000的彩票中奖．

思考3：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？ 提示：这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，更1有可能连续10次都出现1点．如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为，6连续10次都出现1点是一个小概率事件，几乎不可能发生．

思考4：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？你认为应如何理解？

提示：降水概率≠降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.

1．概率的正确理解

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性．

2．游戏的公平性

(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．

(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．

3．决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的

- 1 -

可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．

4．天气预报的概率解释

天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%.在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．

5．孟德尔与遗传机理中的统计规律

孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

(1)某事件发生的频率为fn(A)＝1.1；(

) (2)小概率事件就是不可能事件，大概率事件就是必然事件；(

) (3)某事件发生的概率随试验次数的变化而变化；(

) (4)连掷3次硬币，可能3次正面均朝上．(

) 解析：频率fn(A)∈[0，1]，且事件发生的概率具有确定性，不随试验次数变化，故只有(4)正确，(1)(2)(3)均错．

答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．(2015·杭州调研)某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是(

) A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨

B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨

C．明天本地降雨的机会是80% D．以上说法均不正确

解析：选C.选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C. 3．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%”，你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．

①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；

②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%. 解析：射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．

答案：②

4．同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？

解：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的．

1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．

2．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．

- 2 -

概率的含义

解释下列概率的含义．

(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2. [解] (1)说明该厂产品合格的可能性为90%；

(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖．

方法归纳

随机事件在一次试验中发生与否是随机的．但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性．

1．(1)事件A发生的概率接近于0，则(

) A．事件A不可能发生

B．事件A也可能发生

C．事件A一定发生

D．事件A发生的可能性很大

解析：选B.事件A发生的概率接近于0，则事件A也可能发生．

(2)某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？

解：从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中99次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为n，其中n为射击次数，而且当n越10大时，击中的次数就越接近9n. 10

概率的应用

如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？

[解] 列表如下：

B A

3

4

5

6 - 3 -

1

2

3

4

5

6

5

6

7

6

7

8

7 8 9 31由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此甲获胜的概率为＝，12493乙获胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．

124[互动探究] 在本例中，若将游戏规则改为：自由转动转盘A和B，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么甲获胜，否则乙获胜，游戏规则公平吗？

解：列表如下：

B A 1

2

3

3

3

6

9

4

4

8

12

5

5

10

15

6 6 12 18 82由表格可知，积为偶数的有8个，积为奇数的有4个，所以甲获胜的概率为＝，乙获12341胜的概率为＝，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．

123方法归纳

游戏公平性的标准及判断方法：

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．

(2)具体判断时，可以求出按所给规则，双方的获胜概率，再进行比较．

2．在孟德尔豌豆杂交试验中，若用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作为父本进行杂交，试求子二代结果中性状分别为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒和绿色皱粒的比例约为多少？

解：记纯黄色圆粒为XXYY，纯绿色皱粒为xxyy，其中X，Y为显性，x，y为隐性，则杂交试验的子二代结果为：

XY Xy xY xy XY XXYY XXYy XxYY XxYy Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy xY XxYY XxYy xxYY xxYy xy XxYy Xxyy xxYy xxyy 则黄色圆粒：XXYY个数为1，XxYY个数为2，XXYy个数为2，XxYy个数为4，即黄色圆粒个数为9. 黄色皱粒：XXyy个数为1，Xxyy个数为2，即黄色皱粒个数为3. 绿色圆粒：xxYY个数为1，xxYy个数为2，即绿色圆粒个数为3，

绿色皱粒：xxyy个数为1. 所以黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例为9∶3∶3∶1.

- 4 -

利用概率知识解决实际生活中的问题

为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．

[解] 设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝2 000.①

n第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记40号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈.②

500由①②两式，得

2 00040≈，

n500解得n≈25 000.

所以，估计水库中有鱼25 000尾．

方法归纳

本题是概率思想在生产、生活实践中应用的典型例子．主要考查概率与频率的关系及由样本估计总体的能力．解题的关键是假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率．

3．(1)今天电视台的天气预报说：今晚阴有雨，明天白天降雨概率是60%.请回答下列问题：

①明天白天运输部门能否抢运粮食？

②如果明天抢运的是石灰和白糖，能否在白天进行？

解：①在降雨概率为60%时，仍可以抢运粮食，毕竟含有40%的无雨概率，不过要采取防雨措施．

②因为石灰和白糖属于易溶物质，最好暂时不运，否则必须采取严密的防雨措施．

(2)一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：

时间范围

新生婴儿数n 男婴数m 1年内

5 544

2 883

2年内

9 607

4 970

3年内

13 520

6 994

4年内

17 190 8 892 ①依次计算男婴出生的频率(保留4位小数)；

②这一地区男婴出生的概率约是多少？

解：①男婴出生的频率依次约是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3. ②由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.

- 5 -

易错警示

因对试验结果考虑不全致误

游戏3 2个黑球和2个白球

取1个球，再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球. 游戏1

游戏2

3个黑球和1个白球

取1个球再取1个球

取出的两个球同色→甲胜

取出的两个球不同色→乙胜

1个黑球和1个白球

取1个球

取出的球是黑球→甲胜

取出的球是白球→乙胜

若从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是游戏几？

[解] 游戏1中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，黑3)(黑2，黑3)(黑1，白)(黑2，白)(黑3，白)，

1∴甲胜的概率为，游戏是公平的．

21游戏2中，显然甲胜的概率为，游戏是公平的．

2游戏3中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，白1)(黑2，白1)(黑1，白2)(黑12，白2)(白1，白2)，甲胜的概率为，游戏是不公平的．

3[错因与防范]

(1)游戏1中，取两球共有6种情况，要考虑全面，准确计算．求出甲或乙获胜的概率，1若为，则公平，否则就不公平．

2(2)游戏2中，黑球、白球各1个，且取1球，故甲、乙获胜的概率相同，游戏是公平的．

(3)游戏3与游戏1中都有4个球，但两游戏中的黑球个数及白球个数均不同，故甲胜的概率不同．

4．根据医疗所的调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选1人，那么能为病人输血的概率为(

) A．50% B．15% C．45% D．65% 解析：选A.仅有O型血的人能为O型血的人输血．故选A.

1．概率是指(

) A．事件发生的可能性大小

B．事件发生的频率

C．事件发生的次数

D．无任何意义

- 6 -

解析：选A.概率是指事件发生的可能性大小．

2．下列说法中，正确的是(

) A．买一张电影票，座位号一定是偶数

B．掷一枚质地均匀的硬币，正面一定朝上

C．三条任意长的线段一定可以围成一个三角形

D．从1，2，3，4，5这5个数中任取一个数，取得奇数的可能性大

解析：选D.A中也可能为奇数，B中也可能反面朝上，C中对于不满足三边关系的，则不能，而D中，取得奇数的可能性为3/5，大于取得偶数的可能性2/5，故选D. 3．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道(

) A．取定一个标准班，A发生的可能性是97% B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97 C．任意取定10 000个标准班，其中大约9 700个班A发生

D．随着抽取的标准班数n不断增大，A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动

解析：选D.对于给定的一个标准班来说，A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10 000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对；请注意：本题中A，B，C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是确定的”．

4．一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，得白球，估计袋中数量少的球是________．

解析：依据是“极大似然法”．

答案：黑球

[A.基础达标]

1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是(

) ①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；

3②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；

7③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

A．0 B．1 C．2 D．3 3解析：选A.①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是7概率，错误．

2．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某1同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果4正确”．这句话(

) A．正确 C．有一定道理 B．错误

D．无法解释

1解析：选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实4

- 7 -

际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．

3．(2015·青岛高一检测)同时掷两颗骰子，得到点数和为6的概率是(

) A.5 12B.D.5

365

185，故选B. 361C. 9解析：选B.列表可得所有可能情况是36种，而“点数和为6”即(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，所以“点数和为6”的概率为4．下列结论中正确的是(

) A．事件A的概率P(A)必有0

C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76% D．某奖券中奖率为50%，则某人买此券10张，一定有5张中奖

解析：选C.A项应为0≤P(A)≤1；B项中的事件A是随机事件；D项中，此人买此奖券10张，不一定中奖，也可能有1，2，3，…，10张中奖．

5．(2015·聊城调研)聊城市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而聊城市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？(

) A．甲公司 B．乙公司

C．甲、乙公司均可 D．以上都对

130解析：选B.由题意得肇事车是甲公司的概率为，是乙公司的概率为，由极大似然法3131可知认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．

6．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，试问该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．

n2解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产2 500100的2 500套座椅中大约有50套次品．

答案：50 7．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________．

解析：两枚硬币落地共有四种结果：

正，正；正，反；反，正；反，反．

由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．

答案：公平

8．一个总体分为A、B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知

- 8 -

B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．

解析：设总体中的个体数为x，

则101＝，∴x＝120. x12112答案：120 9．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；

(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)．

解：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，

所以，这次考试的及格率是75%. (2)成绩在[70，100]的人数是18＋15＋3＝36. 所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，

1选到第一名学生的概率P＝. 3610．社会调查人员希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．

1965年Stanley·l·Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的，另一个是无关紧要的，这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．

假如在调查运动员服用兴奋剂情况的时候，无关紧要的问题是：你的身份证号码的尾数是奇数吗；敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗．然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．

例如我们把这个方法用于200个被调查的运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂．

解：因为掷硬币出现正面的概率是0.5，大约有100人回答了第一个问题，

因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是相同的，

因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，

由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂．

[B.能力提升]

- 9 -

1．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是(

) A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败

B．这个手术一定成功

C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术

D．这个手术成功的可能性是99% 解析：选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%. 2．(2015·潍坊三县联考)为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一枚骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答)．结果被调查的3 000人中1 200人回答了“否”，由此估计在这3 000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是(

) A．600 B．200 C．400 D．300 1解析：选A.因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，3所以应有1 000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1 000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1 000人回答了第三个问题，在这1 000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1 200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，根据用样本特征估计总体特征知识可知在这3 000人中约有600人没有缴纳车船使用税．故选A. 3．小明在抛掷图钉时，在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是________．

解析：由于在抛掷图钉试验中，“钉尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛100次钉尖触地次数的取值范围是[0，100]．

答案：[0，100] 4．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．

解析：从甲、乙、丙三人中选两名共有：甲、乙；甲、丙；乙、丙三种结果，故甲被选2中的概率为. 32答案：

315．某同学认为：“将一颗骰子掷1次得到6点的概率是，这说明将一颗骰子掷6次一6定会出现1次6点．”这种说法正确吗？说说你的理由．

解：这种说法是错误的．因为将一颗骰子掷1次得到6点是一个随机事件，在一次试验中，它可能发生，也有可能不发生，将一颗骰子掷6次就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现6点，也有可能不出现6点，所以6次试验中有可能1次6点也不出现，也可能出现1次，2次，…，6次．

6．(选做题)有一天，我去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图是一个转盘，游戏者每次转一下，转盘停止后，找到指针所指的数，从这一格开始，顺时针

- 10 -

数到与该数相同个数的位置，按照提示得到或付出相应的钱数．

看来获奖的希望很大，16格中只有一格罚钱，要不要玩呢？你想来试试吗？

(1)请全体学生以小组为单位，进行游戏．每小组做20次，填写工作单．如：我们小组共试验了________次，其中赢________次，输________次．由此估计赢的概率为________．

(2)没有人赢12元大奖吗？是不是试验次数太少了？别的奖项呢？你能分析一下各个奖项出现的概率吗？你能说明谁是真正的赢家吗？

解：(1)略．

(2)没有人赢12元大奖；不是试验次数太少．

指针所指数为4，6，8，9，10，12，14，16，17，18这10个区域时均要罚3元，其概105率为P(罚3元)＝＝.当指针指数为3，5，7，11，13，15这6个区域时均要奖1元，其概16863率为P(奖1元)＝＝. 168如果玩很多次的话，平均每8次能赢3×1＝3元，却要输5×3＝15元．所以玩的次数越多，输得越多．真正的赢家为游戏的庄家．

- 11 -