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复习专题四：

向量

一、知识点梳理

1.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝______. 2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的—————→—————→—————→—————————→向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋A n－1An＝________，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→3．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝___________．

→→→4.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝_____. 2．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_______. 3．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(______,_______)，a－b＝(_______,_______)，

2λa＝(______,_____)，|a|＝x21＋y1.|ab|___________________________. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(________________)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔__________________. 5．向量的夹角

→→已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是__________．

6.平面向量的数量积

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量__________叫做a与b的数量积，记作a·b |________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影

7.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔__________. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝______或|a|＝a·a. a·b(4)cos θ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|. |a||b|8．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝___________，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝__________或|a|＝__________. →(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝______________. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔______________. a·b(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝______________. |a||b|知识拓展

1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. →→→3．若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0. 二、例题练习

小题狂练

1．(2018·济南调研)以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 5.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，

→→→若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________. m6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. n7．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________. →→8．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________. 1sin)，若a∥b，则锐角θ＝________. 10.已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，12.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________. 13．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

12

14．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．

→→15．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为________．

16. 平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(

) A．13＋62

B．25 C.30

D.34 17 .已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为______．

18已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是_________．

|2a－b|19．(2017·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于(

) a·a＋b5A．－

B．1

C．2

35

D.

4→→20．(2018·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于(

) 3223A．－

B．－ C.

D.

2332→→→22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20aBC＋15bCA＋12cAB＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(

) 433A.

B. C.

545

D.7

4→→→→225．(2018·株州模拟)在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是(

) A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

26．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cos2θ的值为(

) 1A.

B．2

C．22

2D．－2 27.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．

大题通关

→→→→→1．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b. →(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．

2．(2018·贵阳质检)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

→→(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．

3．(2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

4.(2017·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A3－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. 5→→(1)求sin A的值；(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．

→→5．(2018·酒泉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA·BC→→＝cCB·CA. →→(1)求角B的大小；(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值．