阅读与思考 三角学与天文学教案设计范例

5.2.2

同角三角函数的基本关系式

【教学目标】

1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．

2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．

3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．

【教学重点】

同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．

【教学难点】

同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用．

【教学方法】

本节主要采用讲练结合的方法．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．

【教学过程】

教学

环节

教学内容

教师提出问题，学生回答．

师生互动

设计意图

推出

sin2＋cos2＝1 sin 

＝tan 

cos 这两个基本关系式．

复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理．

复1、计算

习

sin230cos230

导

入

sin245cos245

2、猜想：

sin2cos2？

师讲解：

1．sin2，cos2

的读法、写法．

2．让学生验证30°，45°，60°的初步认识和正弦，余弦，正切值满足两个关记忆两个关系系式．

式，理解“同角”3．“同角”的概念与角的表达形式的含义．

无关，如：sin2 β＋cos2 β＝1．

4．同角的意义：一是“角相同”；

二是“任意一个角”．

在单位圆中，由三角函数的定义及已知新

角的终边上一点P(x,y)，

因此

yxy

sin

cos

tan(x0)

课

rxr

所以

sin2 ＋cos2＝1；平方关系

125

sin 

＝tan 

．商数关系

cos 

于是得同角三角函数的基本关系式：

应

用

举

例

例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．

4例1

已知sin

＝

，且



是第二象限的

5练习：教材

P141，练习A组第角，求



的余弦和正切值．

1（2）（3）题．

解

由

sin2＋cos2＝1，得

小结步骤：已知正弦（或余弦）当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．

同角三角函数的基本关系式应用之一：

求值．

多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个cos ＝±1－sin2

．

根据平方关系求余弦（或正弦）因为

是第二象限角，cos ＜0, 基本关系式的应用和用方程求值43根据商数关系所以

cos ＝－1－()2

＝－

，

求正切．

55的方法．

4

5sin 4tan ＝

＝

＝－

．

33cos 

－

5

例2

已知

tan ＝－5 ，且



是第二象

例2可在教师的引导下解决，带

限角，求

的正弦和余弦值．

领学生详细解方程组．

解

由题意得

练习：教材P141，练习A组第1

sin2 ＋cos2 ＝1，

①

（4）题．

sin 解方程组

＝－5 ．

②

求小结步骤：知正切cos 

．

由②，得sin

＝－5 cos 

，代入①余弦（或正弦）

式得

灵活应用公

6 cos2＝1，

式，加快运算速

度．为下面运用12cos＝

．

6师：求值题目总结

公式化简和证明因为

是第二象限角，

1．注意同角三角函数的基做好知识铺垫．

本关系式的变形应用．

6 所以

cos ＝－

，代入③式得

62．已知sin ，cos ，tan

sin α＝－5 cos α

中的任意一个，可以用方程（组）

126

教师小结化简方法：

把切函数化为弦函数．

sinθ－cos θsinθ－cos θ练习：教材P142，练习A组第

2解

原式＝

＝

sin θsin θ－cos θ

－1

题，练习B组第1题．

cos θcos θ

＝cosθ．

同角三角函数的基本关系式应用之三：

证明．

例4

求证：

（1）

sin4 －cos4 ＝2 sin2－1；

教师提示：证明恒等式一般（2）

tan2 －sin2＝tan2

sin2；

从繁到简，从高次到低次．从左1＋sin xcos x向右，或从右向左，或从两头向（3）

＝

．

cos x

1－sin x中间来证明．

证明：

可让学生自己先独立探索（1）原式左边＝(sin2＋cos2)(sin2－证明思路，再小组讨论．教师在cos2) 证明思路和解题格式上给予指

＝sin2－cos2

导．

＝sin2－(1－sin2) 由学生完成证明，展示不同

＝2 sin2－1 证法，分析优劣．

用

＝右边．

因此sin4 －cos4 ＝2 sin2 －1．

（2）原式右边＝tan2  (1－cos2 )

举

＝tan2 －tan2 α

cos2 

2

sin



＝tan2 －2

cos2 

cos



例

＝tan2 －sin2 

对（3）作分析：

＝左边．

思路1：用作差法，不管分母，

因此

tan2 －sin2 

＝tan2 

sin2 ．

只需将分子转化为零．

（3）证法1：

1＋sin xcos x

因为

－

cos x1－sin x

22 cos

x－(1－sin x)

＝

(1－sin x)cos x

127

应

＝－5 ×(－＝30

．

66

) 6求出其余的两个．

同角三角函数的基本关系式应用之二：

化简．

sin θ－cos θ例3

化简：

．

tan θ－1

通过讨论探究，使学生进一步熟练公式的各种变形.培养学生的发散思维，提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力．

cos2

x－cos2

x＝

(1－sin x)cos x＝0．

所以

1＋sin xcos x

＝

．

cos x

1－sin xcos xcos x

·

1－sin xcos x证法2：因为

左边＝

cos2 x＝

；

(1－sin x)cos x

右边＝

1＋sin x1－sin x

·

cos x1－sin x

思路2：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果．

练习：教材P

142，练习A组第3题，练习B组第2题．

cos2 x

＝

．

(1－sin x) cos x所以

左边＝右边．

即原等式成立．

小

结

1. 同角三角函数的基本关系式

sin2＋cos2＝1，

sin 

＝tan ．

cos 2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．

教材课后练习A组已融在新课中．

师生共同总结．

必做题：

作

写出同角三角函数的基本关系式，并写

出其变形公式．

业

选做题：

教材P

142，练习B组第3题．

128