构建知识体系教学目标

勾股定理应用

一、教学目标

1．体会勾股定理和逆定理的应用

2．探究勾股定理的应用技巧。

二、重点、难点

1．重点：掌握勾股定理的应用。

2．难点：勾股定理的应用方法。

三、教学过程

创设情境：⑴关于勾股定理，你知道什么？

⑵怎样判定一个三角形是不是直角三角形？

例题分析

例1在△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，求△ABC中的面积

分析：知道三角形的三边长度，根据三角形全等判定定理“边边边”可知，这样的三角形是唯一的，所以它的面积可以求得。根据三角形面积计算公式，二分之一底乘高。那么如何求高就是结决问题的关键。

求高，就有直角三角形。利用勾股定理求解就可以。

做高有要求。一般我们做最长边的高。因为这个高在三角形的内部。所以过点A做边BC的高，垂足为D,先求CD的长度。再求AD的长度。

解析略。

例2已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：∠C=90°。

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

222⑶由于a2+b2= （n2－1）＋（2n）=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

四、课堂练习

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（

）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（

）

A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2

D．a：b：c=2：3：4 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=3，b=22，c=5；

⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=3，c=7；

⑷a=5，b=26，c=1。

五、课后练习，

1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2．填空题。

⑴任何一个命题都有

，但任何一个定理未必都有

。

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是

。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是

三角形，

是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是

。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是

三角形。

3．若三角形的三边是

⑴1、3、2；

⑵,,111；

⑶32，42，52

⑷9，40，41；

345⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（

）

A．2个

B．３个

Ｃ．４个

Ｄ．５个

4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40；

⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=23，c=4；

⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。