原（逆）命题、原（逆）定理优秀教案

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第十七章

勾股定理

教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3-5）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片5-17）

17.2

勾股定理的逆定理

第1课时

勾股定理的逆定理

学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；

2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 自主学习

一、知识回顾

1.勾股定理的内容是什么？

2.

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

① a＝3，b＝4；

② a＝2.5，b＝6；

③ a＝4，b＝7.5.

课堂探究

一、要点探究

探究点1：勾股定理的逆定理

量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.

算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？

思考

据此你有什么猜想呢? 猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.

活动2

为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.

证一证

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

．

求证：△ABC是直角三角形

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

。

则A′B′2=_______+________

∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.

在△ABC和△A′B′C′中，

A′C′=AC，

B′C′=BC，

∴△ABC____△A′B′C′(________) . 第

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______=_______,

∴∠C____∠C′_____90°

，

即△ABC是__________三角形.

要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形

，最长边所对应的角为直角.

典例精析

例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足

a:b: c=3:4:5，是判断

△ABC的形状.

方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.

教学备注

2.探究点1知讲授

（见幻灯5-17）

例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.

(2)

若△ABC的三边

a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.

例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝1CB，试判断AF

4

与EF的位置关系，并说明理由.

针对训练

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（

）

A．2，3，4

B．3，4，6

C．5，12，13

D．4，6，7

2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是

(

）

3.探究点2A．4

B．3

C．2.5

D．2.4 知讲授

3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.

（见幻灯探究点2：勾股数

18-20）

要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角www.youyi100.com

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新片新片

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形.满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 典例精析

例4 下列各组数是勾股数的是

(

)

A.6，8，10

B.7，8，9

C.0.3，0.4，0.5

D.52，122，132

方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.

探究点3：互逆命题与互逆定理

想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？

2.两个命题的条件和结论有何联系？

要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.

针对训练

1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？

(1)两条直线平行，内错角相等；

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

二、课堂小结

勾股定理

的逆定理

勾股定理

的逆定理的作用

内 容

如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 222

教学备注

配套PPT讲授

3.探究点2新知讲授

（见幻灯片18-20）

4.探究点3新知讲授

（见幻灯片21-24）

5.课堂小结

（见幻灯片30）

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教学备注

6.当堂检测

（见幻灯片25-29）

注

意

1.

最长边不一定是c，

∠C也不一定是直角. 2.

勾股数一定是正整数.

当堂检测

1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.

将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形

(

)

A.是直角三角形

B.可能是锐角三角形

C.可能是钝角三角形

D.不可能是直角三角形

3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c. ①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；

222②若c=b-a,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；

2③若(c+a)(c-a)=b,则△ABC是直角三角形; ④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2+a2-b2+c-a=0，则△ABC的形状是________________．

5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．

226.已知△ABC,AB=n-1,BC=2n,AC=n+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？

若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.

7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=52,求四边形ABCD 的面积.

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