习题训练教案设计

第十七章

勾股定理

17．1

勾股定理

第1课时

勾股定理

01

基础题

知识点1

勾股定理的证明

1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.

2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．

解：图形的总面积可以表示为

1c2＋2×ab＝c2＋ab，

21也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，

2∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab. ∴a2＋b2＝c2.

知识点2

利用勾股定理进行计算

3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C) A．a2＋b2＝c2

B．b2＋c2＝a2

C．a2＋c2＝b2

D．c2－a2＝b2

4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为(C) A．4

B.5

C.13

D．5 5．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是23 cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm

B．43 cm

C．6 cm

D．63 cm

6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．

7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1)a＝7，b＝24，求c；

(2)a＝4，c＝7，求b. 解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．

∴a2＋b2＝c2. ∴72＋242＝c2. ∴c2＝49＋576＝625.

∴c＝25. (2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．

∴a2＋b2＝c2. ∴42＋b2＝72. ∴b2＝72－42＝49－16＝33. ∴b＝33.

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.

(1)求∠BAC的度数；

(2)若AC＝2，求AD的长．

解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°

＝75°. (2)∵AD⊥BC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C＝45°，

∴∠DAC＝45°. ∴AD＝CD. 根据勾股定理，得AD＝2.

02

中档题

9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5

B．6

C．8

D．10

第9题图

第10题图

10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48

B．60

C．76

D．80

11．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A) A．33

B．6

C．32

D.21

第11题图

第14题图

12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10

B．8

C．6或10

D．8或10 13．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．

15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15.

(1)求AB的长；

(2)求CD的长．

解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，

∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25. 11(2)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

22∴AC·BC＝AB·CD. ∴20×15＝25CD.∴CD＝12.

17．(2016·益阳)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

作AD⊥BC于点D，

设BD＝x，用含x

的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用

AD作为“桥梁”，建

利用勾股定理求立方程模型求出x.→出AD的长，再计

算三角形面积.

解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2. ∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9. ∴AD＝12. 11∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 22

03

综合题

18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．

第2课时

勾股定理的应用

01

基础题

知识点1

勾股定理在平面图形中的应用

1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(D) A．5 m

B．12 m

C．13 m

D．18 m

第1题图

第2题图

2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．

3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：

①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.6米．

求风筝的高度CE.

解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．

∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．

答：风筝的高度CE为21.6米．

4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？

解：设码头所在的位置为C，1.5 h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则

AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的夹角为45°，

∴∠ACB＝90°. 3在Rt△ABC中，∵AC＝16×＝24(海里)，AB＝30海里．

2由勾股定理，得

BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324.解得BC＝18. 3∴18÷＝12(海里/小时)．

2

答：乙船每小时航行12海里．

知识点2

勾股定理与方程的应用

5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．

解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC. 设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5. 在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，

∴x2＋22＝(x＋0.5)2.

解得x＝3.75. ∴水深3.75尺．

6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？

解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m. 设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m. 由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10. ∴CD＝(30－x)m. 在Rt△ACD中，∠A＝90°，

由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，

∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5. ∴AD＝10＋5＝15(m)．

故这棵树有15 m高．

知识点3

两次勾股定理的应用

7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米

B．1.5米

C．2.2米

D．2.4米

第7题图

第8题图

8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．

02

中档题

9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅

少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草

(D) A．4

B．6

C．7

D．8

第9题图

第10题图

10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米

B．8米

C．9米

D．7米

11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.

第11题图

第12题图

习题解析

12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．

13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度

h.

解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，

在Rt△DEF中，根据勾股定理，得

DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.

h＝220－150＝70(cm)．

∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.

14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？

解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.

∴AP＝2OP＝200 m，

AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．

在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.

∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．

∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.

∴此车超过每小时80千米的限制速度．

03

综合题

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长；

(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．

解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16. ∴BC＝4 cm. (2)由题意，知BP＝t cm，

①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，

∴t＝4；

②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，

在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2. 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，

即52＋[32＋(t－4)2]＝t2. 25解得t＝. 425∴当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝. 4

第3课时

利用勾股定理作图

01

基础题

知识点1

在数轴上表示无理数

1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．

解：略．

知识点2

网格中的无理数

2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)

A．5

B．6

C．7

D．25

知识点3

等腰三角形中的勾股定理

3．在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求等腰三角形的边上的高与面积.

解：过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC＝13 cm，

11∴BD＝CD＝BC＝×10 22＝5(cm)．

∴AD＝AB2－BD2＝132－52

＝12(cm)．

11∴S△ABC＝BC·AD＝×10×12＝60(cm2)．

22

02

中档题

4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)

A．(1，1，) B．(3，1)

C．(3，3)

D．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A所表示的实数是5－1．

第5题图

第6题图

6．(2017·乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的3距离5．

57．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．

解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，

∴CB＝CD，

∠CDE＝∠DCE＝60°. 1∴∠BDC＝∠DBC＝∠DCE＝30°. 2∴∠BDE＝90°. 在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，

DB＝BE2－DE2＝82－42＝43.

03

综合题

8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.

2OA2＝(1)2＋1＝2，S1＝2OA3＝(2)2＋1＝3，S2＝2OA4＝(3)2＋1＝4，S3＝1；

22；

23；

2…

求：

(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

222(3)求出S21＋S2＋S3＋…＋S10的值．

2解：(1)OAn＝(n－1)2＋1＝n，Sn＝n(n为正整数)．

22(2)OA10＝(9)2＋1＝10，∴OA10＝10. 222(3)S21＋S2＋S3＋…＋S10

1239102＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()

22222123910＝＋＋＋…＋＋

44444＝1＋2＋3＋…＋9＋10

41＋10×102＝

4＝

55. 4

小专题(二)

巧用勾股定理解决折叠与展开问题

类型1

利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.

【例1】

直角三角形纸片的两直角边AC＝8，BC＝6，现将△ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，25则BE的长为．

4

1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，9折痕为FH，则线段AF的长是cm. 4

第1题图

第2题图

2．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝6．

类型2

利用勾股定理解决立体图形的展开问题

立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．

【例2】

(教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)

【思路点拨】

要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的AA′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走．

1【解答】

如图，由题意可得：AA′＝12，A′B＝×2π×3＝9. 2

在Rt△AA′B中，根裾勾股定理得：AB2＝A′A2＋A′B2＝122＋92＝225.

∴AB＝15. ∴需要爬行的最短路径是15 cm.

3．如图是一个高为10 cm，底面圆的半径为4 cm的圆柱体．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA＝3 cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1＝2 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)

第3题图

第4题图

4．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m(精确到0.01 m)．

5．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. (1)点A1到点C2之间的距离是多少？

(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？

解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，

∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．

∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．

(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．

如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．

如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．

∵52＜213＜82，

∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是52 cm.

17.2

勾股定理的逆定理

01

基础题

知识点1

互逆命题

1．下列各命题的逆命题不成立的是(C) A．两直线平行，同旁内角互补

B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

C．对顶角相等

D．如果a2＝b2，那么a＝b 2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．

(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；

(2)等腰三角形的两个底角相等．

解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题．

(2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．

知识点2

勾股定理的逆定理

3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4，5

B．1，2，3 C．6，7，8

D．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A) A．3，4，5

B．1.5，2，2.5

C．32，42，52

111D.，，

3455．在△ABC中，AB＝8，AC＝15，BC＝17，则该三角形为(B) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．锐角三角形或钝角三角形

8．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．

(1)a＝3，b＝22，c＝5；

(2)a＝5，b＝7，c＝9；

(3)a＝2，b＝3，c＝7；

(4)a＝5，b＝26，c＝1.

解：(1)是，∠B是直角．

(2)不是．

(3)是，∠C是直角．

(4)是，∠A是直角．

9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5. (1)求△ABC的周长；

(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？

解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，

根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，

又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，

∴AB＝20，AC＝13. ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54. (2)△ABC不是直角三角形．理由：

∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，

AB2＋AC2≠BC2，

∴△ABC不是直角三角形．

02

中档题

10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D) A．10 B．11 C．12 D．13

11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋|c－10|＝0，那么下列说法中不正确的是(C) A．这个三角形是直角三角形

B．这个三角形的最长边长是10 C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8 12．下列定理中，没有逆定理的是(B) A．等腰三角形的两个底角相等

B．对顶角相等

C．三边对应相等的两个三角形全等

D．直角三角形两个锐角的和等于90°

13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为(C)

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．

15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．

解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，

根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52. ∴AC＝5 cm. ∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，

AD2＝132＝169，

即AC2＋CD2＝AD2. ∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，

即∠ACD＝90°.

16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：

(1)∠BAD的度数；

(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．

解：(1)连接AC. ∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝2. 又∵CD＝3，DA＝1，

∴AC2＋DA2＝CD2.

∴△ADC为直角三角形，∠DAC＝90°. ∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝135°. 11(2)∵S△ABC＝AB·BC＝，

2212S△ADC＝AD·AC＝，

22∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝1＋2. 2

03

综合题

17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：

n a b c 2 22－1 4 3 32－1 6 4 42－1 8 5 52－1 10 …

…

…

22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …

(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c，则a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；

(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．

解：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝(n2＋1)2＝c2，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

章末复习(二)

勾股定理

01

基础题

知识点1

勾股定理

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C) A. 6

C．63

B．62 D. 12

第1题图

第2题图

2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．

4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.

证明：连接AC. ∵在△ABC中，∠B＝90°，

∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，

∴∠ADC＝90°. ∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，

∴AB2＋BC2＝2AB2. ∴BC2＝AB2. ∵AB＞0，BC＞0，

∴AB＝BC.

知识点2

勾股定理的应用

5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D) A．12 m

B．13 m

C．16 m

D．17 m

第5题图

第6题图

6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．

7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．

知识点3

逆命题与逆定理

8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．

知识点4

勾股定理的逆定理及其应用

9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

02

中档题

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D) A.3－1

C.5－1

B.3＋1

D.5＋1

第10题图

第11题图

11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(C) A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

第12题图

第13题图

13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B) A．CD，EF，GH

C．AB，CD，EF

B．AB，EF，GH

D．GH，AB，CD 14．若一个三角形的周长为123 cm，一边长为33 cm，其他两边之差为3 cm，则这个三角形是直角三角形．

15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．

解：连接AC. ∵∠ADC＝90°，

∴△ADC是直角三角形．

∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2，

解得AC＝10. 又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，

∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°

∴S四边形ABCD＝SRt△ACB－SRt△ACD

11＝×10×24－×6×8 22＝96(m2)．

故这块空白地的面积为96 m2.

16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD＝2，求AC的长．

解：∵BD＝CD＝2，

∴BC＝22＋22＝22. ∴设AB＝x，则AC＝2x. ∴x2＋(22)2＝(2x)2. ∴x2＋8＝4x2. 8∴x2＝. 326∴x＝. 34∴AC＝2AB＝6. 3

03

综合题

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．

解：连接BD. ∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，

∴△CPD为等腰直角三角形．

∴∠CPD＝45°. ∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，

∴∠ACP＝∠BCD. ∵CA＝CB，

∴△CAP≌△CBD(SAS)．

∴DB＝PA＝3. 在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，

∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9. ∴∠DPB＝90°. ∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.