数学活动优质课教案设计

19.2.3 一次函数与方程、不等式（第一课时）

龙感湖中学 严格

一、教学内容：

一次函数与方程、不等式的关系

二、内容解析：

函数、方程、不等式是初中数学的核心内容，函数是联系方程、不等式的纽带，通过函数图像，可以直观地表示方程（组）和不等式的解或者解集的含义。用函数的观点看一元一次方程，可以把解一元一次方程理解为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数的观点看一元一次不等式，它的解集就是使得函数值在某个范围的自变量的取值范围。研究函数、方程、不等式间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构。

综上所述，本节课教学重点是：理解一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的联系。

三、教学目标：

（1）认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义；

（2）经历用函数图像表示方程和不等式的过程，体会数形结合的思想。

四、学情分析：

学生已经学习过一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，知道它们是刻画现实问题中数量关系的重要模型，但还没有建立这些知识间的有效联系，不知道方程、不等式、函数的联系。从函数图像的角度看一元一次方程，实际上是已知一次函数图像上点的纵坐标求与其对应的横坐标；用函数图像观点看不等式，要把不等式的解集看作纵坐标的值在一定范围内的点对应的x轴的部分。

因此，本节课的教学难点是：把一次函数图像上点的坐标与一元一次方程、一元一次不等式的解或解集建立联系。

五、教学过程：

教学环节

教师活动

提出问题请学生在坐标纸上画函数y = 2x 导入新课

+ 1的图像，教师在黑板上同时作图。

【提问】（1）这是一个什么函数？

（2）一般用什么方法作它的图像？

（3）一般选哪两个点？

（4）自变量x的值与函数y的值分别作为点的哪一个坐标？

学生活动

自己动手作图，回答：

（1）一次函数；（2）两点法；（3）与两坐标轴的交点；（4）横坐标、纵坐标

设计意图

复习前面所学的一次函数相关知识，为本节课的学习内容做铺垫。

一、一次函数与一元一次方程的关系

1、从函数值的角度考虑

【提问】

1、计算，在函数y = 2x + 1中：

（1）当函数值y = 3时，自变量x =？

（2）当函数值y = 0时，自变量x =？

（3）当函数值y = -1时，自变量x =？

2、解方程：

（1）2x + 1 = 3；

（2）2x + 1 = 0；

（3）2x + 1 = -1. 3、请大家比较两组问题的结果，尝试总结一次函数与一元一次方程的关系。

【总结】解方程2x + 1 = 3，从函数值的角度考虑，就是当函数y = 2x + 1的函数值为3时，求自变量x的值。

2、从函数【提问】

图像的角观察函数y = 2x + 1的图像，不计度考虑

算，大家能否得出：

（1）当函数值y = 3时，自变量x =？

（2）当函数值y = 0时，自变量x =？

（3）当函数值y = -1时，自变量x =？

【讲述】函数值y = 3，在图像上看，就是点的纵坐标为3，求此时的自变量，就是看纵坐标为3的点的横坐标是多少。

【总结】解方程2x + 1 = 3，从函数图像的角度考虑，就是在直线y = 2x + 1上取纵坐标为3的点，看它的横坐标为多少。（这就是利用函数图像解方程的方法！）因此，一元一次方程和一次函数是有联系的，它对应了一次函数图像上的一个点。

【练习】

一次函数y = kx + b图像如图所示。

计算、观察比较、尝试总结

通过层层递进的问题，使学生能够较顺利地得出如何从从函数值的角度理解方程

结合图像，作图，回答问题

将函数值、自变量的值与点的纵坐标、横坐标联系起来，用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系。

（1）方程kx + b = 0的解为

；

（2）方程kx + b = -12的解为

. 相互讨论，回答问题

及时练习，巩固新知

二、一次【提问】我们刚刚学习了从函数函数与一的角度看方程，那么大家能不能元一次不尝试从函数值的角度理解不等等式的关式：2x + 1＜3？（教师结合方程2x + 1 = 3引导学生叙述）

系

1、从函数【讲述】解不等式2x + 1＜3，从值的角度函数值的角度考虑，就是当函数y = 2x + 1的函数值小于3时，求考虑：

自变量x的取值范围。

2．从函数【讲述】函数值小于3，在图像图像的角上看就是点的纵坐标小于3，纵度考虑

坐标小于3的点有很多，这些点对应了x轴的一部分。因此，解不等式2x + 1＜3，从函数图像的角度考虑，就是在直线y = 2x + 1上取纵坐标小于3 的点，看它们对应x轴的哪一部分。（这就是利用函数图像解不等式的方法！）因此，一元一次不等式与一次函数也是有联系的，它对应的是一次函数图像的一部分。

【小组讨论】

跟着教师的引导回答

类比一次函数与一元一次方程的关系，用函数观点看一元一次不等式，培养学生的知识迁移能力

从函数角度如何理解不等式2x + 讨论并回答

1＞0？如何利用函数图像解这个上讲台讲解

不等式？请学生上讲台讲解。

【练习】

如图，直线y = kx + b经过点（2，

类比一次函数与一元一次方程的关系，用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方不等式的联系。培养学生的迁移能力

小组讨论，培养学生交流能力和表达能力

1），则不等式kx

+ b＞1的解集相互讨论，回答问题

为

．

及时练习，巩固新知

小结

【讲述】这节课我们从函数值（数）、函数图像（形）两个方面把一次函数、一元一次方程、一元一次不等式建立起了联系，知道了一元一次方程对应了函数图像上的点，一元一次不等式对应的是函数图像的一部分，从而得出了利用函数图像解方程和不等式的方法。

课后自主练【课后练习】

1、直线y = kx + b的图像经过点习

（2 , 5），则方程kx + b = 5的解为

. 2、如图，直线y = kx + b与坐标轴交于A（-3，0），B（0，5）两点。

（1）不等式kx + b＜0解集为

．

（2）不等式kx + b＞5解集为

．

将所学知识进行整理，使知识系统化

作业布置

检验教学成果，训练学生利用所学知识解题的能力