复习题20教案评析

了解平均数、众数、中位数、极差、方差有关概念,掌握平均数、方差的计算公式,会找一组数据的中位数、众数、极差,能进行计算和解决生产、生活中的有关问题.

能结合具体情境发现并提出问题,逐步具有观察、猜想、推理、归纳和合作学习能力.

通过创设问题情境,激发学生自主探求的热情和积极参与的意识;通过合作交流,培养学生团结协作、乐于助人的品质.

【重点】

掌握平均数、方差的计算公式,会找一组数据的中位数、众数、极差,能进行计算和解决生产、生活中的有关问题.

【难点】

选择合适的统计量表示数据的集中趋势.

专题一

平均数

【专题分析】

平均数的计算考查频率较高,题型以选择题、填空题为主,也涉及解答题,考查形式有:①直接给一组数据或表格中的数据求平均数;②一组数据中含有未知数,已知某个数据代表求其他数据代表.

若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是

(

)

A.44

B.45

C.46

D.47

〔解析〕

这组数据共有7个,可以采用简化公式进行计算.将这组数据的每一个数都减去40,得到一组新数据:0,2,3,5,7,7,18,这组新数据的平均数为6,所以原数据的平均数为40+6=46.故选C.

[归纳总结]

对于由n个数据x1,x2,…,xn组成的一组数据,如果将这组数据中的每一个数据都减去同一个常数a,这组新数据的平均数为',那么原数据的平均数为='+a.对于由n个数据x1,x2,…,xn组成的一组数据,

如果x1出现了f1次,x2出现了f2次,…,xk出现了fk次,其中f1+f2+…+fk=n,那么,这组数据的平均数可用加权平均数公式=(f1x1+f2x2+…+fkxk)进行计算.

【针对训练1】

如图所示的是小芹6月1日~7日每天的自主学习时间统计图,则小芹这七天平均每天的自主学习时间是

(

)

A.1小时

B.1.5小时

C.2小时

D.3小时

〔解析〕

先从折线统计图中获取数据信息,然后用这组数据的和除以数据的个数.(2+1+1+1+1+1.5+3)÷7=1.5.故选B.

专题二

中位数和众数

【专题分析】

中位数和众数的计算考查频率较高,题型大多以选择题、填空题为主,考查形式有:①直接给出一组数据或表格中的数据求中位数和众数;②一组数据中含有未知数,已知某个数据代表求其他数据代表.

数据1,2,4,0,5,3,5,中位数和众数分别是

(

)

A.3 和2

B.3和3

C.0和5

D.3和5

〔解析〕

这7个数据按从小到大的顺序排列,位于第4个的是3,故中位数是3;这7个数据中出现次数最多的数据是5,一共出现了2次,所以众数是5.故选D.

[规律方法]

找中位数要把数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,当数据个数为奇数时,中位数即为中间的一个,当数据个数为偶数时,中位数就是中间两个数的平均数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.

【针对训练2】空气质量状况已引起全社会的广泛关注,某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数,整理后制成如下折线统计图和扇形统计图.

某市2013年每月空气质量良好以上天数折线统计图

某市2013年每月空气质量良好以上天数扇形统计图

根据以上信息解答下列问题:

(1)该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是

天,众数是

天;

(2)求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数;

(3)根据以上统计图提供的信息,请你简要分析该市的空气质量状况.(字数不超过30字)

〔解析〕

(1)将这组数据按照一定的顺序排列,取中间两个数的平均数就是中位数;取次数出现最多的那个数就是众数;(2)20天以上的一共有两个数据,360°×要回答正确就可以.

=60°,就是扇形A的圆心角的度数;(3)根据题意只

解:(1)由题意可得数据为8,9,12,13,13,13,15,16,17,19,21,21,最中间的是13,15,故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天,众数是13天.

(2)360°×=60°,

答:扇形A的圆心角的度数是60°.

(3)答案不唯一,合理即可.月空气质量良好以上的天数在10~20天的占了多数.

专题三

方差

【专题分析】

方差是从不同层面反映一组数据的特征数,在解决问题时,准确掌握这些特征数的概念、对应公式,以及灵活运用公式是关键.题型以选择题、填空题为主,考查形式有:①直接给出一组数据或表格中的数据求方差;②根据比较方差值的大小,判定稳定性,解决实际问题.

一组数据3,4,5,x,7,8的平均数为6,则这组数据的方差是

.

〔解析〕

可以先根据平均数求出x的值,然后根据方差公式求解.∵3,4,5,x,7,8的平均数为6,∴x=9.∴方差为s=×[(3-6)+(4-6)+(5-6)+(7-6)+(8-6)+(9-6)]=2222222.故填.

[归纳总结]

数据中有未知数时,一般先求出这个未知数,再根据方差公式计算即可.若一组数据是由另一组数据逐个加几或减几得到的,则这两组数据的方差相同.

【针对训练3】我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运会比赛,组织了选拔测试,两人分别进行了五次射击,成绩(单位:环)如下:

甲

乙

10 10 9 8 8 9 9 8 9 10

则应选派

运动员参加省运会比赛.

〔解析〕

甲的平均数是×(10+9+8+9+9)=9,乙的平均数是×(10+8+9+8+10)=9,甲的方差是=×[(10-9)+(9-9)+(8-9)+(9-9)+(9-9)]=0.4,乙的方差是22222=×[(10-9)+(8-9)+(9-9)+(8-9)+(10-9)]=0.8,∵22222<,∴甲的成绩稳定,∴应选择甲运动员参加省运会比赛.故填甲.

专题四

用样本估计总体

【专题知识】

一般情况下,如果总体的容量较大,不便分析其数据特征,我们可以通过随机抽取一定的样本,通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计,但难免有一定误差.本章主要利用平均数、方差的公式,通过计算样本的平均数、方差,估计总体的平均数、方差,进一步感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想.

【专题分析】

考查用样本估计总体的题目,选择题、填空题或解答题的形式均有可能出现,一般在3~5分.

李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树,今年已经进入收获期,从中任意采摘了6棵树上的樱桃,分别称得每棵树的产量(单位:千克)如下表:

序号

产量

A.18,2000

B.19,1900

C.18.5,1900

D.19,1850 1 17 2 21 3 19 4 18 5 20 6 19

设这组数据的中位数为m,樱桃的总产量为n,则m,n分别为

(

)

〔解析〕

把数据17,21,19,18,20,19按从小到大的顺序排列为17,18,19,19,20,21,∴中位数为19,平均数为=19×100=1900千克.故选B.

[易错点津]

在求中位数时容易出现的错误是没有把数据按大小顺序排列,而是直接求了表格中从左到右中间两个数的平均数.

【针对训练4】

据省环保网发布的消息,吉首市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之首,下表是吉首市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表.

2014年5月1日~10日空气质量指数(AQI)情况(表一)

日期

空气质量指数(AQI)

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

8日

9日

10日

28

38

94

53

63

149

53

90

84

35

=19,即每棵樱桃树的产量约为19千克,∴樱桃的总产量约为空气质量污染指数标准(AQI)(表二)

污染指数

0~50 51~100 101~150 151~200 等级;(用科学计算器计算或笔算,结果保留整数)

(2)按规定,当空气质量指数AQI≤100时,空气质量才算“达标”,请你根据表(一)和表(二)所提供的信息,估计今年(365天)吉首市空气质量“达标”的天数.(结果保留整数)

〔解析〕

(1)算出10天空气质量指数的平均数并根据对应表作出判断即可;(2)先统计出样本中“达标”的天数并算出达标率,再算出今年(365天)吉首市空气质量“达标”的天数即可.

解:(1)=×(28+38+94+53+63+149+53+90+84+35)=68.7≈69,

等级

优

良

轻微污染

轻度污染

(1)请你计算这10天吉首市空气质量指数的平均数,并据此判断这10天吉首市空气质量平均状况属于哪个

这10天空气质量平均状况属于良.

(2)∵这10天中“达标”的天数为9天,

∴365×=328.5≈329,

∴今年吉首市空气质量“达标”的天数为329天.

专题五

统计思想

【专题知识】

统计学是用方法论科学,在所有涉及实质性现象的领域中,统计方法都发挥着越来越重要的作用.这些统计方法具有内在的联系和逻辑关系,在认识事物时存在比较通用的模式,这些认识模式是统计学的基本思想.本章中,统计思想就是通过数据收集、数据处理和数据分析,更合理地解决实际问题.

【专题分析】

统计学是与数据打交道的一门学科,研究如何搜集、整理、计算和分析数据,然后从中找出一些规律,统计思想是用统计知识解决现实生活中涉及数据的问题.题型可以以多种形式出现.

位:元)

某工厂有220名员工,财务科要了解员工收入情况.现在抽测了10名员工的本月收入,结果如下:(单

16600

15400

15100

16700

16200

15800

15800

16000

16200

16200

(1)这组数据的中位数和众数分别是多少?

(2)员工的月平均收入是多少?

(3)估算一下财务科本月应准备多少钱发工资.

解:(1)将这组数据按照从小到大的顺序排列为15100,15400,15800,15800,16000,16200,16200,16200,16600,16700,处于中间位置的两个数为16000和16200,故中位数为16100.该组数据中,出现次数最多的数为16200,故众数是16200.

(2)员工的月平均收入为(15100×1+15400×1+15800×2+16000×1+16200×3+16600×1+16700×1)÷10

=16000(元).

(3)从(2)得到员工的月平均收入为16000元,工厂共有220名员工,所以估计财务科本月应准备16000×220=3520000(元).

【针对训练5】

请根据所给信息,帮助小颖同学完成她的调查报告.

2013年4月回龙八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告

调查目的

了解八年级学生每天干家务活的平均时间

调查内容

回龙八年级学生干家务活的平均时间

调查方式

1.数据的收集:

(1)在回龙八年级每班随机调查5名学生

(2)统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间(单位:

min),结果如下(其中A表示10 min,B表示20 min,C表示30 min)

B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 抽样调查

2.数据的处理:

调查步骤

以统计图的形式呈现上述统计结果,请补全统计图

3.数据的分析:

列式计算随机调查的学生每天干家务活平均时间的平均数(结果保留整数)

调查结论

回龙八年级共有240名学生,其中大约有

名学生每天干家务活的平均时间是20 min

〔解析〕

先从表格中得出平均每天干家务活的时间为30 min的有5名学生,从而补全统计图,再根据A表示10 min,B表示20 min,C表示30 min和学生数即可求出随机调查的学生每天干家务活的平均时间的平均数,最后根据每天干家务活的平均时间是20 min所占的百分比乘240,即可得出大约每天干家务活的平均时间是20 min的学生数.

解:从表中可以看出C的学生数是5人,

如图所示,

每天干家务活平均时间的平均数是(10×10+15×20+5×30)÷30≈18(min),

根据题意得240×=120(人),

回龙八年级共有240名学生,其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是20 min.

专题六

方程思想

【专题分析】

本章中运用方程思想主要是将一组数据中的未知数据用x,y表示,然后根据已知条件列出方程或方程组求解.

八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题,规定每题答对得5分,答错扣2分,未答得0分.赛后A,B,C,D,E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答),具体如下表:

参赛同学

答对题数

答错题数

未答题数

A

B

C

D

E

19 17 15 17 0 2 2 1 1 1 3 2 7 /

/

(1)根据以上信息,求A,B,C,D四位同学成绩的平均分;

(2)最后获知A,B,C,D,E五位同学的成绩分别是95分,81分,64分,83分,58分.

①求E同学的答对题数和答错题数;

②经计算A,B,C,D四位同学实际成绩的平均分是80.75分,与(1)中算得的平均分不相符,发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).

〔解析〕

本题考查了统计知识及二元一次方程(组)的综合应用,解题的关键是能根据题目的条件建立方程或方程组求解实际问题.(1)根据得分规则分别求得4名学生的成绩,再求平均数.(2)①根据E同学的总分和得分规则利用方程组或方程求得E同学的答对题数和答错题数;②根据题目中出现的表格计算A,B,C,D四位同学的得分,与最后获知的A,B,C,D四位同学的成绩进行比较确定记错答题情况的同学,最后求得他的实际答对题数和答错题数.

解:(1)A同学的成绩为5×19-2×0+0×1=95(分),

B同学的成绩为5×17-2×2+0×1=81(分),

C同学的成绩为5×15-2×2+0×3=71(分),

D同学的成绩为5×17-2×1+0×2=83(分).

A,B,C,D四位同学成绩的平均分为

答:A,B,C,D四位同学成绩的平均分为82.5分.

(2)①设E同学答对x题,答错y题.

由题意,得解得

=82.5(分).

答:E同学答对12题,答错1题.

②C同学,他实际答对14题,答错3题,未答3题.

[归纳总结]

根据得分规则及学生答题情况建立方程或方程组解决问题.

【针对训练6】

下表是某校九年级(1)班30名学生期末考试的数学成绩表(已污损):

成绩/分

50 人数/人

2 60 70 5 7 80 90 100

3

已知该班学生期末考试的数学成绩的平均分是76分.

(1)求该班成绩为80分和90分的各有多少人;

(2)设该班30名学生数学成绩的众数为a,中位数为b,求a+b的值.

〔解析〕

(1)根据已知条件,利用平均数的计算公式列出方程组求解即可.(2)根据众数和中位数的概念确定这组数据的众数和中位数,即可求出a+b的值.

解:(1)设该班有x人得80分,有y人得90分,

根据题意和平均数的意义,可列出方程组为:

整理得解得

因此该班成绩为80分的学生有8人,成绩为90分的学生有5人.

(2)分析表格中的数据可知该班30名学生数学成绩的众数为80分,中位数(按从小到大排序后第15个数和第16个数的平均数)为80分,

所以a+b=80+80=160.

专题七

数形结合思想

【专题知识】

数形结合是指将数(或量)与形(图形)结合起来对问题进行研究,本章中许多题目的信息都是通过统计图给出的,有些问题将数据表现在图上,更能直观地反映数据的特点,解决此类题目我们要把抽象的数据和直观的图形结合起来,使问题达到“化难为易、化抽象为直观”.

【专题分析】

统计中的题目大部分都是以图表形式提供信息,所以涉及运用数形结合思想较广泛.可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.

某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级三班学生所穿校服型号情况进行了摸底调查,并根据调查结果绘制了如下两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种型号).

根据以上信息,解答下列问题:

(1)该班共有多少名学生?其中穿175型号校服的学生有多少?

(2)在条形统计图中,请把空缺的部分补充完整;

(3)在扇形统计图中,请计算185型号校服所对应扇形圆心角的大小;

(4)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数.

〔解析〕

(1)由条形统计图确定165型号的人数,由扇形统计图确定165型号占的百分比,得出总人数,再用总人数乘175型号占的百分比求出穿175型号校服的学生人数;(2)根据人数把条形统计图补充完整;(3)由条形统计图得出穿185型号校服的人数,再计算出百分比,用360°乘百分比求出圆心角的度数;(4)观察各个数据,出现次数最多的是众数,排序后中间的两个数据的平均数是中位数.

解:(1)15÷30%=50(人),50×20%=10(人),

即该班共有50名学生,其中穿175型号校服的学生有10人.

(2)补充如下:

(3)圆心角的度数为360°×170,故中位数是170.

[解题策略]

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.除此之外,此题还需要准确掌握平均数、中位数、众数的概念及计算方法.

【针对训练7】

在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中,某校10名学生参赛成绩统计如图所示.对于这10名学生的参赛成绩,下列说法中错误的是

(

)

A.众数是90

B.中位数是90

C.平均数是90

D.极差是15 =14.4°.

(4)165和170出现的次数最多,都是15次,故众数是165和170;共50个数据,第25个和第26个数据都是

〔解析〕

根据折线统计图,可以发现数据80出现次数是1,数据85出现次数是2,数据90 出现次数是5,数据95 出现次数是2,按照数据由小到大的次数累加确定中位数,根据次数出现多少判断众数,结合平均数计算方法确定平均数,极差用最大数据减去最小数据即可.易于看出众数是90,A正确,中位数是90,B正确,极差是95-80=15,D正确,运用排除法C错误,也可进一步计算平均数为(80×1+85×2+90×5+95×2)÷10=89,C错误.故选C.