1.4 角平分线的性质国家优质课一等奖

1.4.1角平分线的性质

教学目标

1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理

2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

重点：领会角的平分线的两个互逆定理

难点：两个互逆定理的实际应用

教学过程：

一、知识回顾（出示ppt课件）

1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC 和∠COB重合。

2、什么是角平分线

一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。

如上图，射线OC是∠AOB的平分，∠AOC = ∠COB =3、用尺规作已知角的平分线：

作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．

（2）分别以MN为圆心．大于A C B O 1∠AOB， 2（3）作射线OC．射线OC即为所求．

你能证明吗？

二、探究交流（出示ppt课件）

1、角平分线性质：

1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．

2A C B M O N 如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？

（1）

猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，

即：PD=PE. （2）引导学生证明猜想。

已知：OC是∠AOB的平分线，

点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，

垂足分别是D、E. 求证：PD=PE. ADC12PEBO

可证明：∆PDO≌∆PEO(AAS) 在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？

（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等

（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。

结论：它到角的两边的距离相等。

用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB，∴PD=PE. 注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。

2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）

（1）写出逆命题：交换定理的题设和结论得到的命题为：

到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。

（2）证明逆命题的正确性：

如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：

点P在∠AOB的平分线上。

分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）

证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可

（3）结论：角平分线的判定定理：

角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。

用符号语言表示为：

∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴

∠1= ∠2 .（OC是∠AOB的平分线）

综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

三、知识应用（出示ppt课件）

例1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 . （1）求证：点B在∠ADC的平分线上 . （2）求证：BD是∠ABC的平分线 . 证明：（1）

∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，

∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD ∴点B在∠ADC的平分线上

（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，∵ BA=BC， BD=BD ∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD _

A_

DC_

1

__

2_

P_

E_

B_

OA 1 B 2 C D

∴ BD是∠ABC的平分线

例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线

，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？

答： (1) DE=DC ∵

∠C=90°

（已知）

E A 3 D 4 C B ∴ DC⊥BC（垂直的定义）

又∵ BD是∠ABC的平分线

∵ DE⊥BA（已知）

∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等） (2) BE=BC 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识? 1 2 角平分线的性质，为我们证明两线段相等

又提供了新的方法与途径

四、巩固练习（出示ppt课件）

3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。

4.已知：如图，∠C=∠D=90°

，AC=AD .求证:（1）

∠ABC= ∠ABD （2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）

A

A D B E C C B D 第3题 第4题

五、课堂小结（出示ppt课件）

六、作业：p24 练习 p26 A 1、2