1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学教案设计

华章文化

第1章

直角三角形

1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

第1课时

直角三角形的性质和判定

新教案

1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个定理．

2．掌握直角三角形斜边上的中线的性质．

3．利用直角三角形的性质和判定证明有关几何问题．

阅读教材P2～4，完成预习内容．

(一)知识探究

1．如图，在Rt△ABC中．

(1)若∠C＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°.所以∠A＋∠B＝90°．

(2)若∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠C＋90°＝180°.所以∠C＝90°．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为斜边AB的中线．若CD＝4 cm，则AB＝8__cm．

小结：

1．直角三角形的两个锐角互余．

2．有两个角互余的三角形是直角三角形．

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

(二)自学反馈

1．已知Rt△ABC，若∠C＝90°，∠A＝60°，则∠B＝30°．

2．已知△ABC，若∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为直角三角形．

3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有AE，BE，若∠A＝35°，则∠ECB＝55°．

活动1 小组讨论

例1

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么

(1)与∠B互余的角有∠A，∠BCD；

(2)与∠A相等的角有∠BCD；

(3)与∠B相等的角有∠ACD．

例2 △ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

利用三角形的内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B＝∠C，等量代换得到2∠C＝180°，从而得出∠C＝90°，所以选B. 例3 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点．

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新教案

(1)求证：ED＝EB；

(2)求证：∠EBD＝∠EDB；

(3)图中有哪些等腰三角形？

解：(1)∵证明：∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，

1∴DE＝BE＝AC. 2(2)证明：由(1)得DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB.

(3)△ADE，△CDE，△AEB，△CEB，△DEB. 活动2 跟踪训练

111．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？

23解：设∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x. 根据题意得x＋2x＋3x＝180°. 解得x＝30°. ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形．

2．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的平分线，E，F分别AB，AC的中点，求证：DE＝DF.

解：∵∠B＝∠C，AD是∠BAC的平分线，

∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵E，F分别AB，AC的中点，

11∴ED＝AB，DF＝＝AC. 22∴DE＝DF. 活动3 课堂小结

1．直角三角形的性质与判定．

2．直角三角形斜边上的中线的性质．

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第2课时

含30°角的直角三角形的性质及其应用

新教案

1．掌握含30°角的直角三角形的相关性质．

2．利用直角三角形的相关性质解决实际问题．

阅读教材P4～6，完成预习内容．

(一)知识探究

1．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．

(二)自学反馈

1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝2．

12．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝AB，则∠A＝30°．

23．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？

解：∠B＝60°，∠A＝30°，AB＝2BC.

活动1 小组讨论

例1 如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B)

A．10米

B．15米

C．25米

D．30米

例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为AB上的中点．请求出图中其他角的度数，找出相等的线段．

解：∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，

∠BDC＝∠BCD＝∠B＝60°；DC＝BC＝BD＝AD. 1例3

如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝AB. 4

证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

1∴AC＝AB.∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. 2∴∠DCB＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°. www.sjhzhb.com

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在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，

11∴AD＝AC＝AB. 24

新教案

抓住含30°角的直角三角形的性质，把握30°角所对的直角边与斜边的关系．

活动2 跟踪训练

1．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为30°，则拉线AB的长度为12__m．

2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P，若∠PEF＝30°.

(1)请求出∠PFC的度数；

(2)与EF相等的线段有哪些？请证明．

解：(1)∠PFC＝60°. (2)EF＝AF＝AE. 证明：∵EP平分∠AEF，FP⊥EP，∠PEF＝30°，

∴∠AFE＝∠AEF＝60°. ∵∠AFE＋∠AEF＋∠EAF＝180°，

∴∠EAF＝60°. ∴△AEF为等边三角形．

∴EF＝AF＝AE. 活动3 课堂小结

含30°角的直角三角形中存在线段的比例关系是证明线段倍数关系的重要途径．

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1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

第1课时

勾股定理

新教案

1．了解勾股定理的发现过程．

2．掌握勾股定理的内容，并能进行相关计算．

3．会用面积法证明勾股定理．

阅读教材P9～11，完成预习内容．

(一)知识探究

如图是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD，直角三角形的三边长分别是a，b，c.

(1)请用不同的方法求梯形的面积；

解：方法一：根据梯形面积公式可知：

11212122S梯形ABCD＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋2ab＋b)＝a＋ab＋b；

2222112112方法二：S梯形ABCD＝S△ABE＋S△ADE＋S△CDE＝ab＋c＋ab＝ab＋c. 2222(2)由上述结果可知：a＋b＝c．

222小结：直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a＋b＝c. (二)自学反馈

1．在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．

2．在直角三角形中，两直角边分别为3，4，那么斜边为5．

3．在直角三角形中，斜边为10，一直角边为6，则另一直角边为8．

活动1 小组讨论

例1 探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．

如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积．

222

12解：SA＝4，SB＝9，SC＝5－4××(2×3)＝13，∴SA＋SB＝SC. 212SA′＝9；SB′＝25；SC′＝8－4××(5×3)＝34，∴SA′＋SB′＝SC′. 2所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．

例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4.则c＝5．

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(2)已知c＝25，b＝15.则a＝20．

新教案

(3)已知c＝19，a＝13.则b＝83．(结果保留根号) (4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝12．

利用方程的思想求直角三角形有关线段的长．

活动2 跟踪训练

1．完成下列填空．

(1)直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为5．

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC∶AC∶AB＝1∶3∶2．

(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，则AC∶BC∶

AB＝1∶1∶2．若AB＝8，则AC＝42．若AB＝8，CD⊥AB于D，则CD＝4．

2．等边△ABC的边长为a，求等边△ABC的高AD和面积．

解：作AD⊥BC于BC交于点D. ∵△ABC为等边三角形，

1∴AD平分BC，BD＝a. 2123222在Rt△ABD中，AD＝a－(a)＝a，

2431332a，S＝·a·a＝a. 2224活动3 课堂小结

1．勾股定理的推导及内容．

2．勾股定理的简单运用．

∴AD＝www.sjhzhb.com

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第2课时

勾股定理的实际应用

新教案

1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．

2．在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值．

阅读教材P12～13，完成预习内容．

(一)知识探究

1．勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

2.2的线段是直角边为正整数1，1的直角三角形的斜边．

3.13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的斜边．

(二)自学反馈

1．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答(A) A．一定不会

B．可能会

C．一定会 D．以上答案都不对

2．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要115 cm.(结果保留根号的形式)

3．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．

4．小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1米，他把绳子斜着拉直，使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5 m，那么旗杆的高度为多少 m?

解：如图，设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为(x＋1) m. 222在Rt△ABC中，AB＋BC＝AC，

222∴x＋5＝(x＋1)，解得x＝12. 答：旗杆的高度为12 m.

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新教案

活动1 小组讨论

例1

如图，在垂直于地面的墙上距离地面2 m的A点处斜放一个长为2.5 m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑′′0.5 m到了A点处，则梯子在地面上滑出的距离BB的长度为(B) A．0.4 m

B．0.5 m

C．0.6 m

D．0.7 m

例2 印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．

解：设湖水深为x尺，则红莲总长为(x＋0.5)尺，

222根据题意，得x＋2＝(x＋0.5). 解得x＝3.75. 答：湖水深3.75尺．

活动2 跟踪训练

1．如图，有一个圆柱，它的高等于16 cm，底面半径等于4 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处食物，需要爬行的最短路程是(π取3)(B) A．12 cm

B．20 cm

C．25 cm

D．30 cm 2．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5 000米，飞机每小时飞行多少千米？

解：540千米．

1

求速度，要把20秒换算成小时，20秒＝小时．

1803．小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你能解释这是为什么吗？

222解：58＋46＝5 480；74＝5 476，荧屏对角线大约为74厘米．售货员没有搞错．我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度．

活动3 课堂小结

利用勾股定理实际问题时，要学会找出直角三角形中的边角关系，利用勾股定理的公式进行计算．

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第3课时

勾股定理的逆定理

新教案

1．理解勾股定理的逆定理的内容．

2．理解勾股数的定义．

2．能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题．

阅读教材P14～15，完成预习内容．

(一)知识探究

222如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a＋b＝c，则△ABC是直角三角形．

小结：

2221．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a＋b＝c；勾股定理的逆定理：如果三222角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c；那么这个三角形是直角三角形．

2222．满足a＋b＝c的三个正整数称为勾股数．

(二)自学反馈

下面以a，b，c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？

(1)a＝25，b＝20，c＝15；

解：是；∠A＝90°. (2)a＝13，b＝2，c＝15；

解：不是．

(3)a＝1，b＝2，c＝3；

解：是；∠B＝90°. (4)a∶b∶c＝3∶4∶5

解：是；∠C＝90°.

根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方．大边对的是大角，即大边对的角是直角．

活动1 小组讨论

例1 以下各组数为边长，能组成直角三角形的是(C) A．5，6，7

B．10，8，4

C．7，25，24

D．9，17，15 22例2 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m－1，c＝m＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

解：对．

222222424222222∵a＋b＝(2m)＋(m－1)＝4m＋m－2m＋1＝m＋2m＋1＝(m＋1)，而c＝(m＋1)，

222∴a＋b＝c，即a，b，c是勾股数．

m＝2时，勾股数为4，3，5；

m＝3时，勾股数为6，8，10；

m＝4时，勾股数为8，15，17. 例3 如图所示，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算产量．小明找了一卷尺，测得AD＝3 m，AB＝4 m，BC＝12 m，CD＝13 m，且∠BAD＝90°，求四边形ABCD的面www.sjhzhb.com

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积．

新教案

解：连接BD. ∵在△ABD中，AD＝3 m，AB＝4 m，∠BAD＝90°，

∴由勾股定理，得BD＝AD＋AB＝3＋4＝5 (m)．

∵在△BCD中，BD＝5 m，BC＝12 m，CD＝13 m，

222∴BD＋BC＝CD.∴△BCD是直角三角形．

11∴四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝×3×4＋×5×12＝36(22)．

2222活动2 跟踪训练

1．如图所示，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)

A．10 B．11 C．12 D．13 2．以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是(C) A．a－1，2a，a＋1

B．a－1，2，a＋1 C．a－1，2a，a＋1 D．a－1，2a，a＋1 22223．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a＋b－c)＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．

4．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”、“海天号”轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿什么方向航行吗？

解：根据题意，画图如下：

PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30. 222222∵24＋18＝30，即PQ＋PR＝QR. ∴∠QPR＝90°. 由“远航号”沿东北方向航向可知，∠QPS＝45°，所以∠SPR＝45°，即“海天号”沿西北方向航行．

活动3 课堂小结

1．勾股定理的逆定理．

2．勾股数．

3．勾股定理及其逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)用于求角度；(3)用于求边长；(4)用于求面积；(5)用于证垂直. www.sjhzhb.com

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1.3 直角三角形全等的判定

新教案

1．理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．

2．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”定理(即“HL”)．

阅读教材P19～20，完成预习内容．

(一)知识探究

1．判定两直角三角形全等的特殊方法指的是直角边、斜边(HL)．

2．直角三角形全等的判定方法有SSS、ASA、SAS、AAS、HL(用简写)．

(二)自学反馈

1．

如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL．

2．

2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．

(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；

解：全等．理由：可用AAS证明其全等．

(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；

解：全等．理由；可用AAS或ASA证明其全等．

(3)一个锐角和斜边对应相等；

解：全等．理由；可用AAS证明其全等．

(4)两直角边对应相等；

解：全等．理由：可用SAS证明其全等．

(5)一条直角边和斜边对应相等．

解：全等．理由：可用HL证明其全等．

3．下列说法正确的是(C) A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个三角形是直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．

活动1 小组讨论

例1

已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：

(1)AB＝DC；

(2)AD∥BC.

证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABD＝∠CDB＝90°. 在Rt△ABD与Rt△CDB中，

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新教案

∵AD＝CB，BD＝DB，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．

∴AB＝DC. (2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，

∴∠ADB＝∠CBD.

∴AD∥BC.

善于发现隐藏条件“公共边”．

例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.

证明：连接CD. ∵AD⊥AC，BC⊥BD，

∴∠A＝∠B＝90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中，

∵AC＝BD，DC＝CD，

∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)．

∴AD＝BC. 活动2 跟踪训练

1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝BA，ED＝AC.求证：ED⊥AC.

证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝BA，ED＝AC，

∴Rt△AED≌Rt△BAC(HL)．

∴∠E＝∠CAB.

∵∠E＋∠EDA＝90°，

∴∠CAB＋∠EDA＝90°，

∴∠DFA＝90°. ∴ED⊥AC. 2．已知，如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝CB，DE＝BF.求证：AB∥DC.

证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝CB，DE＝BF，

∴Rt△AED≌Rt△CFB. ∴AE＝CF. ∴AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，

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AF＝CE，∠AFB＝CED＝90°，

BF＝DE，

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∴Rt△ABF≌Rt△CDE(SAS)．

∴∠BAF＝∠DCE.

∴AB∥DC. 活动3 课堂小结

1．“HL”是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．

2．证明两个直角三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL. www.sjhzhb.com

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1.4 角平分线的性质

第1课时

角平分线的性质与判定

新教案

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定，熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．

阅读教材P22～24，完成预习内容．

(一)知识探究

(1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

(2)角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

(二)自学反馈

1．如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE＝8，则PF的长(C) A．4

B．6

C．8

D．10 2．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C) A．60° B．45° C．30° D．75°

活动1 小组讨论

例1 如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？

解：过点D作DE⊥AB于E，

∵点D到AB的距离等于5 cm，

∴DE＝5 cm. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，

∴DE＝CD＝5 cm. ∵BD＝2CD，

∴BD＝2×5＝10 (cm)．

∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15 (cm)．

角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直．

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新教案

例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF. 证明：在△ABD和△ACD中，

∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD(SSS)．

∴∠BAD＝∠CAD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角的平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF. 例3 如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上．

证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，

∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，

∴FG＝FM，FH＝FM. ∴FG＝FH. ∴点F在∠BAC的平分线上．

活动2 跟踪训练

1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

2．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是(A) A．①②④

B．①②③

C．②③④ D．①③

3．如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF. www.sjhzhb.com

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新教案

证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，

∴PF＝PD. 同理证得PE＝PD. ∴PD＝PE＝PF.

角平线的性质是证线段相等的另一途径．

活动3 课堂小结

1．角平分线上的点到角的两边的距离相等．

2．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

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第2课时

角平分线的性质与判定的运用

新教案

灵活运用角平分线的性质和判定解决问题．

阅读教材P24～25，完成预习内容．

(一)知识探究

1．由教材P24“动脑筋”和P25例2可知，角平分线的性质是可用于证明线段之间的数量关系．

2．由P25的“动脑筋”可知：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等．

(二)自学反馈

1．到三角形三边距离相等的点是(C) A．三条高的交点

B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点 D．不能确定

2．如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有(D) A．一处

B．二处

C．三处

D．四处

3．如图，已知AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC于点E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于(C) A．50° B．60° C．70° D．80°

活动1 小组讨论

例1 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.

证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N. 11∵S△DCE＝CE·DN，S△DBF＝BF·DM，S△DCE＝S△DBF，

2211∴CE·DN＝BF·DM.

22∵CE＝BF，

∴DN＝DM. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.

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新教案

例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线．

证明：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F. ∵AB∥CD，EH⊥AB，

∴EG⊥DC，∠GCE＝∠B.

∵点E是BC的中点，

∴CE＝BE. 在△CGE和△BHE中，

∠GCE＝∠B，

CE＝EB，∠CEB＝∠BEH，∴△CGE≌△BHE(ASA)．

∴GE＝EH. ∵DE平分∠ADC，∴GE＝EF. ∴EF＝EH.∴AE是∠DAB的平分线．

活动2 跟踪训练

1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 2．如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N.求证：PM＝PN.

证明：∵OD平分∠AOB，

∴∠1＝∠2.

在△OBD和△OAD中，

OB＝OA，∠1＝∠2，

OD＝OD，∴△OBD≌△OAD(SAS)．

∴∠3＝∠4.

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新教案

∵PM⊥BD，PN⊥AD，

∴PM＝PN. 3．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证：

(1)OC平分∠ACD；

(2)OA⊥OC.

证明：(1)过点O作OE⊥AC于E，

∵∠B＝90°，OA平分∠BAC，

∴OB＝OE. ∵点O为BD的中点，

∴OB＝OD，

∴OE＝OD. 又∵∠D＝90°，

∴OC平分∠ACD.

(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，

AO＝AO，

OB＝OE，∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．

∴∠AOB＝∠AOE.

同理：∠COD＝∠COE.

1∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°. 2∴OA⊥OC. 活动3 课堂小结

角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一．

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