2.1多边形的概念及内角和优秀教案板书设计

湘教版八年级数学下册第2章四边形的教案

第2章

四边形

2．1 多边形

第1课时

多边形及其内角和

1．了解多边形及其相关概念；

2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．

阅读教材P34～36，完成预习内容．

(一)知识探究

1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．

2．多边形各部分的名称：边：组成多边形的各条线段；顶点：相邻两条边的公共端点；对角线：连接不相邻的两个顶点的线段；内角：相邻两边组成的角．

3．在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形．

4．从n边形的一个顶点出发，有n－3条对角线．

5．n边形的内角和＝(n－2)__·180°．

(二)自学反馈

1．如图，多边形有__2__个．

2．六边形的内角和等于720度．

3．已知多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．

4．一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加(C) A．180°

B．90°

C．360°

D．540°

5．四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＋∠D＝280°，那么∠B的度数是(A) A．80°

B．90°

C．170°

D．20°

活动1 小组讨论

例

(1)十边形的内角和是多少度？

(2)一个多边形的内角和等于1 980°，它是几边形？

解：(1)十边形的内角和是(10－2)×180°＝1 440°. (2)设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝1 980°，

解得n＝13. 所以这是一个十三边形．

运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．

活动2 跟踪训练

1．下列说法中，正确的有(B) ①三角形是边数最少的多边形；

②由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；

③n边形有n条边、n个顶点、2n个内角．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为6．

3．已知两个多边形的内角和为1 080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．

1

解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得

(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1 080°. 解得x＝2. 故这两个多边形的边数分别是4和6. 4．如图，回答下列问题：

(1)小华是在求几边形的内角和？

(2)少加的那个内角为多少度？

1解：(1)∵1 125÷180＝6，

41∴n－2≥6. 4∵n为满足题意的最小整数，

∴n－2＝7，

∴n＝9，故小华求的是九边形的内角和．

(2)∵1 125÷180＝6……45，

∴小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°. 活动3 课堂小结

1．本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．即n边形的内角和等于(n－2)·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系．

n（n－3）2．n边形对角线条数：条．

2

2

第2课时

多边形的外角和

1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程．

2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊．

3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．

阅读教材P36～38，完成预习内容．

(一)知识探究

1．多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角．

2．在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．

3．任意多边形的外角和等于360°，一个内角＋一个相邻外角＝180°. 4．三角形具有稳定性；四边形具有不稳定性，即四边形的边长不变，但形状可以发生变化．

(二)自学反馈

1．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为(D) A．90°

B．180°

C．270°

D．360°

2．一个多边形的每一个外角都是60°，这个多边形是几边形？

解：六边形．

3．在一个木门上斜着钉上一根木条，主要是利用了三角形的稳定性．

4．学校校门的电动伸缩门、伸缩衣帽架是利用了四边形的不稳定性．

活动1 小组讨论

例

一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？

解：设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n－2)·180°. 由题意，得(n－2)·180°＝5×360°，

解得n＝12. 故这个多边形是十二边形．

活动2 跟踪训练

1．下列多边形中，内角和与外角和相等的是(A) A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

2．如图，小陈从点O出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(C) A．60 m B．100 m C．90 m D．120 m 3.如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳固，应怎么做？

3

解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC，BD均连接．

活动3 课堂小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题，有时直接应用外角和会比较简便．

4

2．2 平行四边形

2．2.1 平行四边形的性质

第1课时

平行四边形的边、角性质

1．理解平行四边形的概念．

2．掌握平行四边形边、角的性质．

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．

阅读教材P40～42，完成预习内容．

(一)知识探究

1．(1)两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．

(2)若AD∥HE，AH∥FC，BG∥DE，用正确的方法表示右图中的平行四边形：▱AHFC，▱BGED．

(3)平行四边形是一种特殊的四边形，由定义可知它的边有什么特殊性质？通过观察或测量，从边的角度看，平行四边形还有什么性质？从角的角度看，平行四边形还有什么性质？

边：对边平行且相等；

角：对角相等．

2．解读平行四边形的定义：

(1)定义中的关键词：

两组对边

分别平行

四边形

(2)几何语言表述定义：

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(3)定义的双重作用：具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”．反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质．

(二)自学反馈

1．在▱ABCD中，已知∠A＝130°，则∠B＝50°，∠C＝130°，∠D＝50°．

2．在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3，则这个平行四边形的周长是10．

3．已知四边形ABCD是平行四边形．

(1)若周长为30 cm，CD＝6 cm，则AB＝6cm，BC＝9cm，AD＝9cm；

(2)若∠A＝70°，则∠B＝110°，∠C＝70°，∠D＝110°；

(3)若∠A＋∠C＝80°，则∠A＝40°，∠D＝140°．

活动1 小组讨论

例1 如图，四边形ABDC和BCEF均为平行四边形，AD＝2 cm，∠A＝65°，∠E＝33°，求EF和∠BGC.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

5

∴AD＝BC＝2 cm，∠2＝∠A＝65°. ∵四边形BCEF为平行四边形，

∴EF＝BC＝2 cm，∠1＝∠E＝33°. ∴在△BGC中，∠BGC＝180°－∠1－∠2＝82°. 例2 如图，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之间的任意两条平行线段．试问：AB与CD是否相等？为什么？

解：∵l1∥l2，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AB＝CD.

夹在两条平行线间的平行线段相等．

活动2 跟踪训练

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝7．

2．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(A) A．35°

B．55°

C．25°

D．30°

3．如图，点G，E，F分别在▱ABCD的边AD，DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：PF＝EP.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.

∵DG＝DC，

∴∠DGC＝∠DCG，

∴∠DCG＝∠GCB.

∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，

∴∠ECP＝∠FCP.

CF＝CE，在△PCF和△PCE中，∠FCP＝∠ECP，

CP＝CP，∴△PCF≌△PCE(SAS)．∴PF＝PE. 4．如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，求证：△EGO与△FHO面积相等．

6

证明：∵l1∥l2，

∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h. 11∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h.

22∴S△EGH＝S△FGH.∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH. ∴△EGO的面积等于△FHO的面积．

活动3 课堂小结

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．

2．平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等．

7

第2课时

平行四边形的对角线的性质

1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；

2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．

阅读教材P42～43，完成预习内容．

(一)知识探究

1．量一量教材中的线段OA，OC，OB，OD的长，并比较OA，OC，OB，OD的大小，由此你能得到什么结论？AC和BD的长度相等吗？

你的结论是：AO＝OC，DO＝BO，AC≠BD．

2．是否对于任何平行四边形对角线的交点就是每一条对角线的中点？如果是，请说明理由．

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，求证：AO＝CO，BO＝DO.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

又∵AB＝DC，

∴△AOB≌△COD(ASA)．

∴AO＝CO，BO＝DO. 3．用一句话把平行四边形的这条性质表达出来．

解：平行四边形的对角线互相平分．即：如果▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，那么OA＝OC，OB＝OD. (二)自学反馈

1．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，指出图形中相等的线段．

解：AB＝DC，AD＝BC，AO＝OC，BO＝OD. 2．如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？

解：在▱ABCD中，

∵AB＝6，AO＋BO＋AB＝15，

∴AO＋BO＝15－6＝9. 又∵AO＝OC，BO＝OD，

∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2(AO＋BO)＝2×9＝18.

活动1 小组讨论

例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，CD＝4.8.试求△COD的周长．

8

解：∵AC，BD为▱ABCD的对角线，

11∴OC＝AC＝3，OD＝BD＝5. 22又∵CD＝4.8，

∴△COD的周长为3＋5＋4.8＝12.8. 例2 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点．

证明：∵AC，BD为▱ABCD的对角线，且相交于点O，

∴OA＝OC.∵AD∥BC，

∴∠MAO＝∠NCO.

又∠AOM＝∠CON，

∴△AOM≌△CON(ASA)．

∴OM＝ON.∴点O是线段MN的中点．

活动2 跟踪训练

1．如图，▱ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，

∴AB－AD＝5 cm. 又∵▱ABCD的周长为60 cm，

∴AB＋AD＝30 cm. 3525∴AB＝CD＝ cm，AD＝BC＝ cm. 222．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论．

解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

9

OF＝OE，在△OFD和△OEB中，∠DOF＝∠BOE，

OD＝OB，∴△OFD≌△OEB(SAS)，

∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，

∴BE∥DF. 3．在▱ABCD中：

(1)如图1，O为对角线BD，AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；

(2)如图2，设P为对角线BD上任一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．

11解：(1)在▱ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，

22∴S△ABO＝S△CBO. (2)S△ABP＝S△CBP. 11证明：在▱ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，

22∴S△ABP＝S△CBP. 活动3

课堂小结

1．到目前为止，你知道了平行四边形的哪些性质？

2．这些性质的简单应用，你会了吗？

10

2．2.2 平行四边形的判定

第1课时

平行四边形的判定定理1，2

1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．

2．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法．

3．平行四边形判定定理的综合应用．

阅读教材P44～46，完成预习内容．

(一)知识探究

1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(二)自学反馈

1．在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(D) A．AB∥CD，AD∥BC

B．AB＝CD，AD＝BC C．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC 2．四边形ABCD中，AD∥BC，要使它是平行四边形，需要增加条件AD＝BC(只需填一个条件即可)．

3．在四边形ABCD中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝6时，四边形ABCD是平行四边形．

4．把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成不同的平行四边形的个数是(C) A．1

B．2

C．3

D．4

活动1 小组讨论

11例1 如图，在▱ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF33是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC. 11∵BE＝BC，FD＝AD，

33∴BE＝FD. ∴四边形BEDF是平行四边形．

例2

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵△ABC≌△CDA，

∴AB＝DC，BC＝AD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

活动2 跟踪训练

1．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

11

∵DF∥BE，

∴∠AFD＝∠CEB，

又∵AF＝CE，DF＝BE，

∴△AFD≌△CEB(SAS)．

∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE.

∴AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形．

2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)连接BF，DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAC＝∠DCA.

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB＝∠DFC＝90°.

在△ABE和△CDF中，

∠BEA＝∠DFC，∠EAB＝∠FCD，

AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)．

(2)四边形BFDE是平行四边形，理由如下：

∵△ABE≌△CDF，

∴AE＝FC，BE＝DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥CB. ∴∠DAC＝∠BCA.

在△ADE和△CBF中，

AD＝CB，∠DAE＝∠BCF，

AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴DE＝BF. ∴四边形BFDE是平行四边形．

活动3 课堂小结

平行四边形的判定定理：

1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

12

第2课时

平行四边形的判定定理3

1．掌握平行四边形的判定定理3. 2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．

阅读教材P46～48，完成预习内容．

(一)知识探究

1．对角线互相平分的四边形是平行四边形．

2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

(二)自学反馈

1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是(D)

A．AD＝BC B．AB∥CD C．∠DAB＝∠BCD

D．∠DAB＝∠ABC

2．已知四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：BO＝OD(只需填一个你认为正确的条件即可)．

活动1 小组讨论

例1

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且OE＝OF.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC. 又∵OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形．

例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，

360°∴∠A＋∠B＝＝180°. 2∴AD∥BC. 同理，AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形．

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

活动2 跟踪训练

13

1．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：

(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形．

证明：(1)∵AC∥BD，

∴∠C＝∠D，

在△AOC和△BOD中，

∠C＝∠D，∠COA＝∠DOB，

AO＝BO，∴△AOC≌△BOD(AAS)．

(2)∵△AOC≌△BOD，

∴CO＝DO. ∵E，F分别是OC，OD的中点，

11∴OF＝OD，OE＝OC. 22∴EO＝FO. 又∵AO＝BO，

∴四边形AFBE是平行四边形．

2．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数；

(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．

解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，

∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°. (2)证明：∵AB∥DC，

∴∠2＝∠CAB＝40°. ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，

∴∠DCB＝∠DAB＝125°. 又∵∠D＝∠B＝55°，

∴四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF，点G，H分别在AB，CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O.求证：(1)EG∥FH；(2)EF与GH互相平分．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD.

14

∴∠GAE＝∠HCF.

又∵AE＝CF，AG＝CH，

∴△AGE≌△CHF(SAS)．

∴∠AEG＝∠CFH.

∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.

∴EG∥FH. (2)连接FG，EH. ∵△AGE≌△CHF，

∴EG＝FH. 又∵EG∥FH，

∴四边形GFHE是平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

活动3 课堂小结

平行四边形的判定：

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

15

2．3 中心对称和中心对称图形

第1课时

中心对称

1．掌握中心对称的概念和基本性质．

2．会运用中心对称的性质作图．

阅读教材P51～52，完成预习内容．

(一)知识探究

1．在平面内，把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转180°下的像P′，这个变换称为关于点O中心对称．

2．在平面内，如果一个图形G绕点O旋转180°，得到的像与另一个图形G′重合，那么称这两个图形关于点O中心对称，点O叫作对称中心．此时，图形G上每一个点E与它在图形G′上的对应点F关于点O对称，从而点O是线段EF的中点．

3．成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．

(二)自学反馈

1．如图，下列各组中的△ABC与△A′B′C′是否成中心对称？

解：①③中的△ABC与△A′B′C′不成中心对称，②④中的△ABC与△A′B′C′成中心对称．

确认两个图形关于某点成中心对称的依据是：能否使各个点绕某一点旋转180°到达各自的对应点．如果能，那么这两个图形就关于该点成中心对称，否则就不成中心对称．

2．已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点．

3．已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的对称图形．

活动1 小组讨论

例

如图，已知△ABC和点O，求作一个△A′B′C′，使它与△ABC关于点O成中心对称．

解：作法：(1)连接AO并延长AO到A′，使OA′＝OA，于是得到点A关于点O的对应点A′.

16

(2)用同样的方法作出点B和C关于点O的对应点B′和C′.

(3)连接A′B′，B′C′，C′A′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形，如图．

作一个图形关于某点成中心对称的图形，关键是作出已知图形中特殊点的对应点．

活动2 跟踪训练

1．如图，已知△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心，并找出图中的等量关系．

解：分别连接AD，CF交于点O，点O就是对称中心．相等的线段：AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE.相等的角：∠CAB＝∠FDE，∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.

在成中心对称的两个图形中寻找对称点的规律：①对称点与对称中心在一条直线上；②对称点分别位于对称中心的两侧；③对称点到对称中心的距离相等．

2．按下列要求作一个与图中所示四边形ABCD成中心对称的四边形．

(1)以顶点A为对称中心；

(2)以BC的中点O为对称中心．

解：(1)如图1；

(2)如图2.

活动3 课堂小结

1．中心对称及对称中心的概念．

2．中心对称的两条基本性质：

(1)关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．

17

第2课时

中心对称图形

1．理解和掌握中心对称图形的概念和基本性质．

2．能利用中心对称图形的性质作图和解决实际问题．

阅读教材P52～53，完成预习内容．

(一)知识探究

1．试说明中心对称图形的定义．

解：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形叫作中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

2．两个图形成中心对称和中心对称图形的区别和联系

区别：①研究对象的个数不同：中心对称是指2个图形，而中心对称图形只研究1个图形；

②中心对称图形的对称中心是图形自身或内部一点，而中心对称不一定．

联系：两个图形都是关于点对称，它们之间没有绝对的界限.

(二)自学反馈

1．判断题(对的打“√”，错的打“”)：

(1)如果一个图形绕某个点旋转，能与另一个图形重合，那么这两个图形组合在一起就是一个中心对称图形；((2)中心对称图形一定是轴对称图形．() 2．下列哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？请画出它们的对称中心或对称轴．

解：中心对称图形：(2)(4)，轴对称图形：(1)(2)(4)(5)，画图略．

活动1 小组讨论

例1 下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心．

解：①③④⑤⑧为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O.

区分轴对称图形和中心对称图形时，注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．

例2 平行四边形是中心对称图形，现过对称中心任意画一直线将其分成两部分，这两部分面积有何关系？

解：相等．

活动2 跟踪训练

1．下列扑克图案中，不是中心对称图形的有2个．

18 )

2．把26个英文大写字母看成图案，其中是中心对称图形的有H，I，N，O，S，X，Z．

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 3．下列几组图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C) A．正方形、长方形、平行四边形

B．正三角形、正方形、等腰梯形

C．长方形、正方形、圆

D．平行四边形、正方形、等边三角形

4．如图，有一块长方形田地，田地内有一口井，现将这块土地平分给两家农户，要求两家合用这口井浇地，请问应如何分？在图中画出分界线．

解：经过长方形对角线的交点和圆心的直线即为所求作的分界线，画图略．

活动3 课堂小结

1．中心对称图形的定义．

2．中心对称图形的性质．

3．我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形．

4．中心对称图形的应用．

19

2．4 三角形的中位线

1．了解三角形中位线的定义；

2．掌握三角形的中位线定理；

3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．

阅读教材P55～56，完成预习内容．

(一)知识探究

1．三角形中位线概念．

(1)如图，连接△ABC的两条边AB，AC的中点的线段DE是三角形的中位线．你能说说什么叫作三角形的中位线吗？

解：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．

(2)一个三角形有3条中位线．

(3)三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？

解：三角形的中位线是两边中点的连线，而三角形的中线是顶点与对边中点的连线．

2．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(二)自学反馈

如图，点E，F，H分别是△ABC三边上的中点，则有：

(1)△ABC的中位线有EF，HF，HE；

1(2)HF∥AB，HF＝AE＝EB＝AB；

21(3)HE∥BC，HE＝BF＝CF＝BC；

21(4)EF∥AC，EF＝HC＝AH＝AC．

2

活动1 小组讨论

例

如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

20

解：四边形EFGH是平行四边形．

理由：连接AC. ∵EF是△ABC的中位线，

1∴EF＝AC且EF∥AC.

21同理，GH＝AC且GH∥AC.

2∴EF∥GH且EF＝GH. ∴四边形EFGH为平行四边形．

活动2 跟踪训练

1．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(C) 3A.

B．3

C．6

D．9 2

2．如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(A) A．80°

B．90°

C．100°

D．110°

3．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC，BD于点M，N.求证：∠ONM＝∠OMN.

证明：取AD的中点P，连接EP，FP，则EP为△ABD的中位线，

1∴EP∥BD，EP＝BD. 2∴∠PEF＝∠ONM.

同理可知PF为△ADC的中位线，

1∴FP∥AC，FP＝AC. 2∴∠PFE＝∠OMN.

∵AC＝BD，

∴PE＝PF. ∴∠PEF＝∠PFE.

21

∴∠ONM＝∠OMN.

在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.

证明：取AC的中点F，连接BF. 又∵BD＝AB，

∴BF为△ADC的中位线，

∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC，

∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.

又∵BC＝CB，

∴△EBC≌△FCB(SAS)．

∴CE＝BF，

∴CD＝2CE.

恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．

活动3 课堂小结

1．熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．

2．理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．

3．能应用三角形中位线的性质解决有关问题．

22

2．5 矩形

2．5.1 矩形的性质

1．理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系．

2．掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明．

阅读教材P58～60，完成预习内容．

(一)知识探究

1．在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质．

矩形性质1 矩形的四个角都是直角．

矩形性质2 矩形的对角线相等．

2．请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考．

(1)矩形是不是中心对称图形？如果是，那么对称中心是什么？

(2)矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？

解：(1)矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

(2)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．

(二)自学反馈

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(C) A．对角相等

B．对边相等

C．对角线相等 D．对角线互相平分

2．矩形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？

解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条．

3．请用所学知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“错误”请在括号里打“×”：

(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．(√)

(2)平行四边形是矩形．() (3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．(√)

活动1 小组讨论

例

如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4 cm，求BC的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，

23

11OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. 22∴OA＝OB. ∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形．

∴AB＝AO＝2. 又∵∠ABC＝90°，

∴BC＝AC－AB＝4－2＝23. 活动2 跟踪训练

1．矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为(D) A．1 cm

B．2 cm

C．2.5 cm

D．4 cm 2．如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(B) 2222

1A. 5

1B. 4

1C. 3

D.3

103．如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.

证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠AEB＝∠FBC.

∵CF⊥BE，

∴∠BFC＝∠A＝90°. 由作图可知，BC＝BE，

∠A＝∠CFB，在△EAB和△BFC中，∠AEB＝∠FBC，

EB＝BC，∴△BFC≌△EAB(AAS)．

∴BF＝AE. 4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，

∴∠BEF＋∠BFE＝90°. ∵EF⊥ED，

∴∠BEF＋∠CED＝90°.

24

∴∠BFE＝∠CED.

在△EBF与△DCE中，∠BFE＝∠CED，∠B＝∠C，

EF＝DE，∴△EBF≌△DCE(AAS)．

∴BE＝CD. ∴BE＝AB. ∴∠BAE＝∠BEA＝45°. ∴∠EAD＝45°. ∴∠BAE＝∠EAD，即AE平分∠BAD.

活动3 课堂小结

1．矩形与平行四边形的性质对比．

2．矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明．

25

2．5.2 矩形的判定

1．掌握矩形的判定方法．

2．矩形的判定及性质的综合应用．

阅读教材61～62，完成预习内容．

(一)知识探究

1．有三个角是直角的四边形是矩形．

2．对角线相等的平行四边形是矩形．

3．李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边—直角、边—直角、边—直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？

命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形．

已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形．

由∠A＝∠B＝90°得出AD∥BC，由∠B＝∠C＝90°得出AB∥DC，即可得出四边形ABCD是平行四边形，又有角是90°，所以是矩形．

4．如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

问题：当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？

命题：对角线相等的平行四边形是矩形．

已知：如图，在▱ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝BD. 求证：▱ABCD是矩形．

根据平行四边形的对边相等，再加上BC＝AD，AB＝AB得出△ABC≌△BAD，得出∠ABC＝∠BAD；又AD∥BC，得出∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴对角线相等的平行四边形是矩形．

(二)自学反馈

1．能够判断一个四边形是矩形的条件是(C) A．对角线相等

B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

2．矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长5cm. 3．如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠NCA，∠FAC的平分线．

26

(1)AB和CD，BC和AD的位置关系？

(2)∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB各等于多少度？

(3)四边形ABCD的形状是矩形；

(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

解：(1)AB∥CD，BC∥AD. (2)90°. (4)相等．因为矩形的对角线相等．

活动1 小组讨论

例

如图，在▱ABCD中，它的两条对角线相交于点O. (1)如果▱ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？

(2)如果△OBC是等腰三角形，OB＝OC，那么▱ABCD是矩形吗？

解：(1)∵▱ABCD是矩形，

∴AC与DB相等且互相平分．

11∴OB＝DB＝AC＝OC. 22∴△OBC是等腰三角形．

(2)∵△OBC是等腰三角形，OB＝OC，

∴AC＝2OC＝2OB＝BD. ∴▱ABCD是矩形．

活动2 跟踪训练

1．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为O，则不能判断四边形ABCD是矩形的是(C) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°

C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC

D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°

2．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为12．

3．延长等腰△ABC的腰BA到点D，CA到点E，分别使AD＝AB，AE＝AC，则四边形BCDE是矩形，其判定根据是对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

4．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.

27

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)求证：四边形BFDE为矩形．

证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°. ∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C.

∠AED＝∠CFB，在△ADE和△CBF中，∠A＝∠C，

AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS)．

(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB. ∴∠CDE＋∠DEB＝180°. ∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°. ∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°. ∴四边形BFDE为矩形．

活动3 课堂小结

矩形的判定：

1．对角线相等的平行四边形是矩形．

2．有三个角是直角的四边形是矩形．

28

2．6 菱形

2．6.1 菱形的性质

1．掌握菱形的定义和性质．

2．掌握菱形面积的求法．

3．灵活运用菱形的性质解决问题．

阅读教材P65～67，完成预习内容．

(一)知识探究

1．有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．

2．菱形具有平行四边形的一切性质．

3．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．它有两条对称轴，两条对称轴互相垂直．

4．菱形的四条边都相等．

5．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

6．请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

解：(1)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形两条对角线所在的直线．两条对称轴互相垂直．

(2)菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等．

(二)自学反馈

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？

(2)有哪些特殊的三角形？

解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD. 相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.

(2)等腰三角形：△ABC，△DBC，△ACD，△ABD；

直角三角形：Rt△AOB，Rt△BOC，Rt△COD，Rt△DOA.

活动1 小组讨论

例

如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4 cm，3 cm，求菱形ABCD的面积和周长．

12解：菱形ABCD的面积为S＝×4×3＝6 (cm)．

21111在Rt△ABO中，OA＝AC＝×4＝2 (cm)，OB＝BD＝×3＝1.5 (cm)，

2222所以AB＝OA＋OB＝2＋1.5＝6.25.

29 22222

从而AB＝2.5 cm. 因此，菱形ABCD的周长为2.5×4＝10 (cm)．

活动2 跟踪训练

1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(B) A．163

B．83

C．43

D．8 2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.

证明：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAE.

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF. 3．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长；

(2)求四边形OBEC的面积．

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD. 在Rt△OCD中，OC＝CD－OD＝5－3＝4 (cm)．

(2)∵CE∥DB，BE∥AC，

∴四边形OBEC为平行四边形．

又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，

∴▱OBEC为矩形．

∵OB＝OD＝4 cm，

2∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm)．

活动3 课堂小结

1．有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．

2．菱形的性质：

(1)菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；

(2)菱形的四条边都相等；

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

(4)菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.

2222

30

2.6.2 菱形的判定

1．理解和掌握菱形的判定方法．

2．合理利用菱形的判定方法进行证明和计算．

阅读教材P68～70，完成预习内容．

(一)知识探究

1．四边相等的四边形是菱形．

2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(二)自学反馈

1．判断下列说法是否正确：

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；() (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(√)

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；() (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．() 2．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.

(1)若AB＝AD，则▱ABCD是菱形；

(2)若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形；

(3)若∠BAO＝∠DAO，则▱ABCD是菱形．

活动1 小组讨论

例1 如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵线段BD垂直平分AC，

∴BA＝BC，DA＝DC，OA＝OC. 在△AOB和△COD中，

∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，

OA＝OC.∴△OAB≌△OCD(AAS)．

∴AB＝CD. ∴BA＝BC＝DA＝DC. ∴四边形ABCD是菱形．

例2 如图，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝8，AD＝5.求AB的长．

31

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

11∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4. 22又∵AD＝5，

222∴AD＝OA＋OD. ∴△DAO是直角三角形．

∴∠DOA＝90°，即DB⊥AC.

∴▱ABCD是菱形．

∴AB＝AD＝5. 活动2 跟踪训练

1．如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是(D) A．AB＝BC

B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD 2．如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是(C)

A．三角形

B．不规则的四边形

C．菱形 D．一般平行四边形

3．如图，在▱ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则四边形ABCD的周长是24．

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：

(1)△ADE≌△CDF；

(2)四边形ABCD是菱形．

证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，

32

∴∠A＝∠C.

∠AED＝∠CFD，在△AED和△CFD中，∠A＝∠C，

DE＝DF，∴△AED≌△CFD(AAS)．

(2)∵△AED≌△CFD，

∴AD＝CD. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

活动3 课堂小结

判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．

判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

33

2.7 正方形

1．掌握正方形的概念、性质，并会运用．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．

3．掌握正方形的判定条件．

4．合理地利用正方形的判定进行有关的证明和计算．

阅读教材P72～74，完成预习内容．

(一)知识探究

1．你能利用手中的矩形白纸裁出一个正方形吗？

总结：矩形＋(一组邻边相等)＝正方形．

2．你能利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．

总结：菱形＋(有一个内角为90°)＝正方形

思考：如果是平行四边形呢？

平行四边形＋(一组邻边相等)＋(有一个内角为90°)＝正方形．

3．正方形的性质

根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？

从边来说：四边相等；

从角来说：四个内角为90°；

从对角线来说：对角线互相垂直平分且相等．

(二)自学反馈

1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(C) A．对角线相等且互相平分

B．对角线相等且互相垂直平分

C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等

2．正方形面积为36，则对角线的长为(B) A．6

B．62 C．9

D．92 3．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是∠BAD＝90°(或AD⊥AB，AC＝BD等)(只填一个条件即可)．

4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F，则四边形ABEF是正方形．

活动1 小组讨论

34

例1

如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°. ∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，即∠1＋∠3＝90°. 又∵∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠2.

∴△AED≌△CFD(ASA)．

∴DE＝DF. 例2

如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 又∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，

∴D′A＝A′B＝B′C＝C′D.

∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，∠1＝∠3.

∴四边形A′B′C′D′是菱形．

∵∠1＋∠2＝90°，∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠D′A′B′＝180°－(∠2＋∠3)＝90°. ∴四边形A′B′C′D′是正方形．

活动2 跟踪训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形DECF是矩形．

∵DE＝DF，

∴矩形DECF是正方形．

2．如图，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F. (1)求证：BE＝CF；

35

(2)求BE的长．

解：(1)∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝90°. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°. ∵AE平分∠BAC，

∴BE＝EF. 又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°. ∴∠FEC＝∠FCE.∴EF＝FC. ∴BE＝CF. (2)设BE＝x，则EF＝CF＝x，

在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，∵BC＝1，∴x＋2x＝1，

解得x＝2－1，即BE的长为2－1. 活动3 课堂小结

1．正方形的性质．

2．正方形的判定方法．

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