二次根式的混合运算课时教案

一次函数与二元一次方程（组）教学设计

汕头市澄海实验学校

陈协美

课题

一次函数与二元

授课班级

初二（11）班

授课时间

19.5.16 一次方程（组）

1.认识一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的联系，会用函数观点解释方程及方程组的解的意义。

知识

2.经历一次函数与二元一次方程及二元一次方程组关系的探索及相关实际问题技能

的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。

3.经历用函数图象表示方程和方程组的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想。

过程

方法

通过对一次函数与二元一次方程和方程组关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力。

教学目标

学*科*网Z*X*X*K][来源[来源:情感

通过对一次函数与二元一次方程及方程组关系的探究，让学生体会数学知识的融态度

会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。

价值观

教学

重点

一次函数与二元一次方程和二元一次方程组关系的探索。

教学

根据一次函数与二元一次方程组的关系，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。

难点

课型

教学

模式

教学过程：

新授课

合作探究

主要教学

方法

教学手段

与教具

合作探究法、数形结合思想法

多媒体课件

环节设计

教学内容

情景：

学了一次函数后，教师活动

学生活动

设计意图

小丸子和小明在争执一个问题，小丸子说：“y=x+5创设情景

让学生认识到一教师提问学生并对学生的学生说出y=x+5是一次函数和二元一“y=x+5是二元一次方程”。回答进行点评。（可让不同次函数或二元一次方次方程的数量关你们说他们谁说得有道意见的学生说出理由）

程的理由。

系本质相同，只是观点不同。

理？

是一次函数”，小明说：

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1

页

环节

设计

探究1：

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

从数的角度探讨一次函数与二元一次方程的联系。

完成下表并思考二元一次方程与一次函数之间的联系：

序号

例

1 2 一次函数

y=x+5 y=2x-7

二元一次方程

x-y=-5

3x+y=4 通过式子之间的让学生先填表并讨论二元转换，让学生体会一次方程与一次函数之间只要把未知数和的联系，让学生畅所欲言。变量的角色互换，和学生一起归纳从数的角完成表格并思考一次则二元一次方程度看，每个含未知数x，y函数与二元一次方程和一次函数也实的二元一次方程都可以转之间的联系。

现了互相转化，从化为y=kx+b（k≠0）的形式，数量关系讲，它们所以每个这样的方程都对应的本质相同，只是一个函数。

看问题的角度不同。

探究2：

自主探究从形的角度探讨一次函数与二元一次方程的联系：

思考：从形的角度看，二元一次方程的解与一次函数有什么关系？

在同一坐标系内，（1）画出函数y =x+5 的图象；

（2）画出以

x-y=-5 的5组解为坐标的点。

你有什么发现？

观察学生画图画得是否正确，帮助有困难学生纠正。和学生一起归纳从形的角度看，每个二元一次方程对应一个一次函数也就对应了一条直线，这条直线上的的点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解。

投影：从“形”的角度看：

以二元一次方程y =kx+b（其中k，b为常数，k≠0）的解为坐标的点组成的图形

一次函数y =kx+b的图象

在导学案的平面直角坐标系上画出一次函数y=x+5 的图象和写出

x-y=-5

引导学生通过画图和观察，直观地发现以方程

的5组解并把以这5组解为坐标的点描在平面直角坐标系上。讨论从形的角度看，一次函数与二元一次方程的联系，得出结论。

x-y=-5 的解为坐标的点全在函数y =x+5的图象上，函数图象上每个点的坐标都是方程x-y=-5的一组解。

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环节

设计

教学内容

一次函数与二元一次方程的联系：

教师活动

学生活动

设计意图

归纳总结让学生明确解决问教师引导学生总结：不管从题，应从变化与对数的角度还是从形的角度看，一次函数和二元一次方学生对前面所学的知识应的观点去考虑，善于观察、善于总程的数量关系的本质相同，进行归纳总结

结，提高学生归纳只不过是观点和表现形式概括知识的能力

不同。

问题：

1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．

(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔

y（m）与气球上升时间

x（min）的函数关系．

教师先在课件中设置动画，让学生感受气球升空的过程，气球上升的高度随时间的变化而变化，其中时间是学生观看气球上升的模用函数解析式描自变量，气球上升的高度是述实际问题，为后时间的函数。并让学生思考拟过程，写出函数解析面问题做准备。

用解析式表示两个气球所式。

在位置的海拔

y（m）与气球上升时间

x（min）的函数关系．

教师让学生独立思考后，讨论解决问题的方法，然后巡视，并对学生在交流过程中可能出现的疑问给予帮助。重点关注学生能法能把问题（2）转化为方程组的问题。

让学生独立回答解题过程和说明理由，并且把解题过程写在黑板上。小结：对于实际问题可以利用函数观点来解决，当考虑自变量为何值时相应两个函数值相等，以及这个函数值是多少的问题时就转化为解相应的二元一次方程组的问题。

认真思考，小组讨论讨论：从数的角度来看一次函数与二元一次方程组的关系，并完成归纳。

（2）从数的角度来看

由题意，得

y =x+5

y =0.5x+15 解得

x=20

y =25 ∴当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度。

通过设置问题，帮助学生从数的角度去看一次函数与二元一次方程组的关系。

自主探究探究3：

(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?

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探究3：

(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?

教师引导学生利用函数图象解决这个问题，先让学生独立思考解决问题的方法，再让全体同学在坐标系中画出两个函数图象，观察学生画图画得是否正确，引导学生归纳从形的角度看一次函数与二元一次方程组之间的关系，并让学生说出理由。强调：求两个一次函数图象的交点坐标时可以把这两个函数组成二元一次方程组求出它的解就可以。而当知道两个一次函数图象的交点坐标时，就可以得出相应的方程组的解。

先独立思考如何利用函数图象解决这个问题，再在平面直角坐标系中画出两个函数图象，找出两条直线的交点坐标，从而找到问题的答案。

从形的角度来看：

如图所示

由函数图象可知，两直线相交于点（20,25）

∴当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度。

对比两种解法，说出二元一次方程组的解与两个一次函数交点坐标的联系。

教师引导学生总结：由上可知，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也就对应两条直线。从“数”的角度看，解二元一次方程对前面所学的知识加上组相当于求自变量为何值时相应两个函数值相等，以及自己的理解加以总结。

这个函数值是多少；从“形”的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标。

通过设置问题，帮助学生从形的角度去看一次函数与二元一次方程组的关系。

归纳总结用函数观点看解二元一次方程组。

提高学生归纳总结的能力，让学生对所学知识得到升华。

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环节

设计

练兵场一：

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

2xy41、用图象法解方程组：

2x3y12迁移应用，巩固知识

2、已知一次函数y =-3x-6和

教师让学生在学案上

思考并完成练兵场一y2x4的图象都经过A中3道题，让学生说出（-2,0），则A坐标可以看成方程

利用图象法解方程组组

的解

的方法，教师归纳步3、如图，是在同一坐标内作出的两骤：写函数，画图象，学生思考解决问题找交点，下结论。引导个一次函数的图象l1、l2, 的方法，并在学案上学生比较解方程组的设直线l1为y =k1x+b1，直线l2为完成这3道题目

两种方法的优缺点，提y=k2x+b2,则方程组

出没有特殊要求应采用消元法解方程组。最的解是

后总结两直线交点坐

标即是相应方程组的

解。

练兵场二：

1、若二元一次方程组



，让学生学会利用两直线交点坐标即是相应方程组的解来解决问题

x3的解是



，则直线

y＝2x－1思考并完成练兵场二y5让学生理解求两个一次函数图象中2道题，总结个一次学生独立思考解决的交点坐标的问与直线

y＝x＋2的交点坐标函数图象的交点坐标问题的方法，并在学题可以转化为求的问题可以转化为求案上完成这2道题目

相应的二元一次是

。

相应的二元一次方程方程组的解的问2、一次函数y = 4x-1和y=2x+3的组的解的问题。

题。

图象交点坐标为

（

）

A、（7,2）

B、（2,7）

C、（-2，-7）

D、（-7，-2）

2xy1xy2教师让学生在学案上第

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1、在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图，请回答下列问题。

（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是

，

从点燃到燃尽所用的时间分别是

。

（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根

教师巡视，并对学生在交流过程中可能出现的疑问给予帮助。重点关注：（1）学生是否能写出甲、乙两根燃烧过程的函数解析式；（2）学生是否能灵活地结合方程组和不等式的有关知识解决问题。

拓展提高

蜡烛的高度相同（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？

1）请用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一

次方程有什么新的理解；

（2）请用函数观点，从数和形两个角度说说你对二元一次方程组的认识；

2、思想方法：转化思想、数形结合思想

乙

甲

学生先独立思考，再在学案上答题。

求出甲、乙两根燃烧过程的函数解析式有两种方法：（1）待定系数法；（2）利用实际意义。

通过这个活动让学生进一步理解方程组与函数之间的联系。

课堂小结让学生分组讨论本节课的收获。

要注意（1）允许学生有不同的看法。（2）师生共同小结，明确一次函数与二元一次方程组之间的数形关系，懂得一次函数的问题可以转化为二元一次方程组的问题。

分组讨论回忆本节所培养学生对所学知学的内容，抓住重点，识的回顾思考的习解决疑点。

惯。

作业课外：习题19.2

第8、15题

《新课程》P60—64

教师布置作业

学生独立完成作业

巩固新知识

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板书设计：

§19.2.3

一次函数与二元一次方程组

1、用一次函数看二元一次方程

对应

数

一次函数

二元一次方程组

点的坐标

形

在一次函数图象上

二元一次方程的解

2、用一次函数看二元一次方程组的解

求当y1=y2时，自变量x的值及相应的函数值

数

形

二元一次方程组的解

相应两条直线的交点坐标

例题：

解：（1）气球上升时间x

满足0≤x≤60

气球1 海拔高度：y =x+5；

气球2 海拔高度：y =0.5x+15．

（2）从数的角度来看

由题意，得

y =x+5

解得

x=20

y =0.5x+15

y =25 ∴当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度。

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