2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计思路

平面向量基本定理及坐标表示

【教学目标】

1．理解平面向量的基本定理，会作出由已知一组基底所表示的向量；

2．理解向量夹角及垂直的概念；

3．理解向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．

【教学重点】

平面向量的基本定理，向量的正交分解及坐标表示

【教学难点】

平面向量的基本定理

【教学过程】

一．复习有关概念

1．实数乘向量的定义及运算律．

2．共线向量定理；

三点共线判断．

3．练习：P92－12、13、B3、4．

二．平面向量基本定理

1．问题引入

由共线向量定理知道，在直线l上的任意向量b都能由l上任一非零向量a唯一确定（即表示：ba）（一维）．试猜想：在平面内，对任意的向量a，能否用平面内任一非零向量唯一确定？若不能，至少用几个非零向量唯一确定？这几个非零向量需满足什么条件？

2．实践操作

（1）用一个向量或两个平行向量时，当a与它们不平行时，不能表示．故这两个向量不能平行．

（2）给出不共线的向量e1,e2及任一向量a，试着作图：用向量e1,e2表示向量a？

（3）从作图发现，这样的表示是唯一的．

e1

a

（4）若多于两个，我们可以合成为两个．

3．平面向量基本定理

e2

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2．我们把不共线的向量e1,e2，叫做表示这一平面内所有向量的基底．

例1．（P94例1）已知向量e1,e2，（如图），求作向量2.5e13e2．

例2．解下列各题

e2

e1

（1）e1,e2是两个不共线的向量，则下列a,b向量能构成一组基底的是_____________．

①

ae1e2,be2e1；

②

ae12e2,be12e2；

③

ae1e2,be1；

④

a2e1

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121e2,be1e2．

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（2）e1,e2是两个不共线的向量，已知a2e13e2,be1e2,c3e14e2，用b,c

表示向量a=_____________．

（3）设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB4e1ke2，ACe13e2，AD2e1e2，若B、C、D三点共线，则k的值为_________．

例3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC且BC=3AD，Ｅ、Ｆ分别是AD、BC边的中点，

BAa,BCb．试以a,b为基底表示EF,DF,CD．

4．向量的夹角

（1）问题：若e1,e2不共线，如何衡量它们的位置关系？

A E D B F C （2）向量夹角的定义：已知两个非零向量a,b，作OAa,OBb，则AOB(0180)叫做向量a和b的夹角．①

0时，a和b同向；②

180时，a和b反向；③

90时，a和b垂直，记作ab．

三．向量的坐标表示（可让学生自学课本）

1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取x轴，y轴方向的单位向量i,j作基底．任一向量a，由平面向量的基本定理，有且只有一对实数x,y，使得axiyj，我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．a(x,y)叫做向量的坐标表示．显然i(1,0),j(0,1),0(0,0)．向量OA的坐标与终点A的坐标一一对应．

例4．（P96例2）

四．归纳

1．平面向量基本定理．

2．总结例1－例4．

3．向量的坐标表示．

4．作业：《作业本》P37

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