复习参考题教学设计思路

《平面向量的数量积》

一、教学目标

《课程标准》指出学习目标是：

(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。

(4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

考虑到学生的学情，故而确立本节课的教学目标为：

1.应用数量积的定义，坐标运算和几何意义求解平面向量的数量积

2.应用数量积求值

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣

因而，我将本节课的复习重点确立为：数量积的求解及应用数量积求值；难点是：求数量积时的坐标化，数形结合思想的使用及构建数量积求值。

二、教法与学法设计

本节课内容是学生在已有的平面向量数量积的相关知识的基础上，在具体的数学问题中，学生通过观察分析，自主探索，交流探讨等活动，探求解决方法，体会坐标化和数相结合思想，构造数量积思想切实解决平面向量数量积的问题。采用启发式、引导式、探讨式的教学方法，引导学生进行自主探究。

三、教学过程设计

(I) 考纲要求：

(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。(3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。(4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

(II) 命题趋势：平面向量的数量积运算是高考的重点内容之一，对本单元的考查多以选择题、填空题的形式出现，问题的档次为中、低档题。主要考查数量积的运算及求夹角、长度、垂直及平行等问题，还易与其他知识有机结合，在知识点的交汇点处命题是高考的一个热点，综合性较强、难度系数较大。

【设计意图】在高三第一轮复习中，学生应该了解考纲才能更清楚地知道高考所考的内容及高考复习中难易度的把握，让学生了解命题的形式、趋势、档次、考查的内容及与其他知

识的有机结合做到学习中的有的放矢。

(III) 知识梳理：读课本，抓基础（投影展示）

1．数量积的有关概念

→→①两个非零向量a与b，过O点作OA＝a，OB＝b，则 叫做向量a与b的夹角；范围是 . ②a与b的夹角为 度时，叫a⊥b. ③若a与b的夹角为θ，则a·b＝ . ④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ . ⑤若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝ ，cosθ＝ . a⊥b⇔ .a∥b⇔ . ⑥

a与b同向a·b=|a||b| ；a与b反向a·b=-|a||b|；特别a·b=|a|2. ⑦ a在b的方向上的投影为 . ⑧ a·b的几何意义：

2．数量积满足的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

①a·b＝ ；②(λa)·b＝λ(a·b)＝ ；③(a＋b)·c＝ ；

3．注意：①两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0. ②数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．

[学生活动]课前复习回顾,归纳整理

【设计意图】复习回顾,梳理知识,回扣教材,扫清盲点,疑点清源，为本节课中的平面向量数量积的应用储备知识基础。

(IV)双基演练：

1.已知a1,1,b1,2,则(2ab)a（

）

A．1

B．0

C．1

D．2

【设计意图】

熟练平面向量的加法运算和数量积的坐标运算．

2.已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角__ _．

【设计意图】因为两个非零向量的夹角是研究数量积必不可少的知识，是对学生的初始训练，有利于给学生自信，有利于知识的储存。

3.向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于( )

A．5 B．4 C．3

D．1 【设计意图】探究向量的模长中，复习巩固“见模平方”思想

4.设e1,e2为单位向量.且e1,e2的夹角为,若ae13e2,b2e1,则向量a在b方向上的射影3为 ____

【设计意图】

准确把握投影概念，为应用数量积的几何意义求解数量积储备知识。

（V）考点探究 探究一：平面向量数量积的运算

例： (1)平面上三点A，B，C满足AB3,BC4,AC5，则ABBCBCCACAAB= 12 (2)

若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CMCBCA,则MAMB________. 63（3）如图，在平行四边形ABCD中

，AP⊥BD，垂足为P，AP3，则APAC=

. 【设计意图】第（1）题学生会有两种解法：一是应用数量积的定义解题，强调夹角方向；二是：数量积运算律的使用。

第（2）题求解数量积要有先“拆分”思想

第（3）题应用数量积的几何意义求解数量积

【提出问题】求解数量积都有哪些方法？每种方法的适用条件是什么? 【设计意图】理清解决数量积的三个方法，为第（4）题计算数量积做铺垫。

（4）（2013新课标Ⅱ卷（理））已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD_______.

【提出问题】你能快速解决此题？你可以想出哪些方法？

【学生活动】学生板书不同解题方法，并讲解此种方法的优点。

【设计意图】让学生在对前3个题目的解答的认知基础上完成此题，熟练应用坐标，数量积的几何意义，拆分后数量积定义（或数量积的几何意义）解题。

巩固提高：（2010天津理数）如图，在ABC中，ADAB, BC3BD,AD1,则ACAD .

A.23 B.3 C.3 D.3

23【教师引导】上述方法均可适用吗？怎么应用条件“BC3BD”

【学生活动】小组讨论，投影展示解答过程

【设计意图】巩固数量积的求法，探求平面向量与三角形相结合的问题的解答

探究二：数量积的应用

已知OA1，OB3，OAOB0点C在AOB内，且AOC=30，设OCmOAnOB，（m,nR）则m13=（ ）.A B 3 C D 3 3n3【教师引导】通过所给条件你能想到什么知识点？可以应用数量积吗？

【设计意图】数量积联系了向量与‘数’，学会构造数量积求值

探索提高：ABO中，OAa,OBb，OD为AB边上的高，若ADAB，则实数=（

）

A . a(ba)ab2 B. a(ab)ab2 C . a(ba)ab D . a(ab)ab

【教师引导】两边能直接与OD进行数量积运算吗？怎么办？你能有更好的方法吗？

【设计意图】平面向量与三角形结合，‘拆分’和‘构造数量积’方法的应用

（VI）归纳小结

平面向量的数量积

数量积的定义：

运算律：

强调：

知识梳理

探究一：数量积的求解

1.

定义法

2.

坐标化

3.

几何意义

‘拆分’

探究二：应用

构造数量积

归纳小结：

【设计意图】总结本节课所呈现的知识点和所解决的问题，加深印象。

五、板书设计

平面向量的数量积

例：探究一：数量积的求解

（4）

探究二：应用

1.定义法：

法一：

解析：

探索提高：

已知（或易知）夹角，模长

解析：

例：（1）

法二：

2.坐标化：易得表示点的坐标

例：（2）

法三：

‘构造数量

3.几何意义：

积’

例：（3）

归纳小结：

【设计意图】导控教学思路,体现教学意图，增强教学内容的直观性,有助于学生理清思路,

加深对本节内容的理解和记忆

六、高考再现

→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·→＝________. 1．在边长为1的正三角形ABC中，设BCBE2.（15年山东理科）已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则BDCD

3333A.a2

B.a2

C.a2

D. a2

42243.（15年天津文科）在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60,

点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE21BC,DFDC,

则AEAF的值为

．

36BE1, 4．（ 13年天津（理））在平行四边形ABCD中, AD

= 1, BAD60, E为CD的中点. 若AD·则AB的长为______.

【设计意图】体现了考点和热点,反馈信息，查漏补缺。

七、评价分析：

对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行评价：

1、

通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神。

3、

通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。4、

通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

学科:高中数学

章节:必修4第二章第四节

姓名:李仕迪

单位:丰南区第一中学