2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

平面向量基本定理

（必修4第二章第三节）

教材分析

向量是近代数学中一个重要的数学概念，也是沟通代数、几何与三角函数的一个工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用。因此，具有很高的教育价值。

而平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，因此，平面向量基本定理是一个承前起后的重要知识点. 教学目标

1、知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；

（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。

2、过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法。 3、情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。

教学重点：平面向量基本定理及其应用、

教学难点：平面向量基本定理的探究

教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是引导探究法，教学手段采用多媒体教学。

教学过程

一、复习回顾

1、向量的加法、减法及数乘运算

2、向量共线定理

3、A、B、P三点共线

OPOAOB且1引入：在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算，力也可以进行分解，任何一个大小不为0的力都可以分解成两个不同方向的分力之和，将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论。

二、问题探究：平面向量基本定理

思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

B

C

2e2

e2

O

e1

e1

D

3e1

A

思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC 上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，

使四边形OMPN为平行四边形？

N

O B P C M A

思考3：在下列两图中，OA、OB、OC向量不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、B N，使OCOMON？

N B C N C

O

M A M O A

e1、e2之间的关系如何？

思考4：平面内任一向量 a与平面内不共线的两个向量 思考5：若向量

a

与

e

1

或

e

2

共线，

还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？

a思考6：根据上述分析，平面内任一向量

a

都可以由这个平面内两个不共线的向量

e

1、

e

2

表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？

如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量a, 有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.

上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的

一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？

三、牛刀小试

1．判断下列命题的是否真命题，并说明理由

①e1、e2是平面内的一组向量，则平面内任一向量都可以表示为a1e12e2, 其中1、2R

②e1、e2是平面内的一组基底，若实数1、2使1e12e20, 则120（

）

③如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a, 可能有无数对实数1、2, 使a1e12e2（

）

2、如图，平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹

1200OA角为与OC的夹角为300，且OAOB1,OC23。

若OCOAOB（，R),则________.

四、例题选讲

例1.如图,平行四边形ABCD中,E在线段BC上,BE:EC=1:2,F为DC中点,G为DE,BF的交点, 若ABa,ADb,试用a,b表示CG

DbFGEBCAa

例2如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的

2中点，AEAD,ABa,ACb.

3

、AE、AF、BE、BF;

(1)用a,b表示向量AD

(2)证明：B、E、F三点共线.

五、走进高考

如图，OM//AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线

围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OPxOAyOB,

1

则x的取值范围是，当x-时，y的取值范围是。

2MPBO六、练习

A

小结作业

1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点. 2、平面向量基本定理及其应用

作业：P102习题2.3B组：3，4.