阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质特级教师教学实录

公开课教学设计

课题：平面向量的数量积及应用（第一轮复习）

高三（19）班 袁瑞英 2017年10月24日

一．考情分析

从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题．在高考中直接考查以选择题或填空题为主，有时出现解答题，主要与三角函数、解析几何综合在一起命题．

二．教学目标分析

教学目标：1.掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．

2．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

情感、态度与价值观：

（1）通过“直观感知、操作确认，推理证明”，

培养学生逻辑推理能力。

（2）发展学生的合情推理能力，培养学生的质疑思辨、创新的精神. （3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣. 教学重点：平面向量数量积及其应用

教学难点: 平面向量数量积的含义及性质与运算律及其应用。

三：教学方法：多媒体辅助教学 学生自主探究 讲

练结合

四：教具准备：hiteach互动系统 多媒体电脑 课件

五：教学过程 （一）【预习检测】

→→1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于(

) A．－16 B．－8 C．8 D．16

1

2．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________

3.已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为(

) 33 A．2 B. C．－2 D．－

22（二）知

识

回

顾（感悟教材

·

学与思）

1.平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)θ为向量a、b的夹角

数量积

向量表示

a·b＝|a||b|cos θ

坐标表示

a·b＝x1x2＋y1y2

|a|＝

模

|a|＝a·a

夹角

a·bcos θ＝

|a||b|cos θ＝

a⊥b的充要条件

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2| 222≤x1＋y21·x2＋y2

2.向量的投影

设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是__________；向量b在a方向上的投影是_____________ 3.数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与_________________的乘积. 4．平面向量数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数λ，则：

(1)交换律：a·b＝________；

(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝____________；

(3)分配律：(a＋b)·c＝_________________. 质疑探究：对于非零向量a、b、c.

2

(1)若a·c＝b·c，则a＝b吗？

(2)(a·b)c＝a(b·c)恒成立吗？

（三）考点互

动

探

究（核心突破

·

导与练）

考向一

平面向量的数量积的运算及几何意义

例1(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________. π(2)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b3方向上的投影为——————。

(3)(2016·石家庄市质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形→拓展提高：

(1)平面向量数量积的计算方法

①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解；

②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．

考点二

利用数量积求向量夹角和模

→最小值是(

) A.2 B．2 C.6 D．6

(2)(2015·安徽省“江南十校”联考)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是(

) ππA．θ＝π B．θ＝ C．θ＝ 23

拓展提高：

3 →内(含边界)任意一点，则AE·AF的最大值为________．

→→例2 (1)(2015·温州市质检)在△ABC中，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的2πD．θ＝

3

(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，是求模常用的公式．

(2)利用向量数量积的定义，知cos θ＝a·b，其中两向量夹角的范围为|a||b|0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．

(3)利用坐标公式，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

cos θ＝x1x2＋y1y2. 2222x1＋y1·x2＋y2(4)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理，三角形的面积公式等求解．

例3：(2015·江西省七校联考)已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

（四）【当堂检测】

(1)(2016·荆州市质检)已知向量a与b的夹角是λb)⊥a，则实数λ＝________. →(2)(2017厦门质检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA→→→→→→→＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的(

) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心

六：课堂小结：【方法与技巧】

2π，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋3→→→→

1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．



2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．



3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

4

七：作业：【课后拓展】

《新高考 新启航》

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