复习参考题教学实录及点评

第一章

三角函数复习教案

1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r＝x2＋y2，yxy则sin α＝；cos α＝；tan α＝. rrx2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．

3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．

[典例1]

已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．

解：r＝（12m）2＋（－5m）2＝13|m|，

若m>0，则r＝13m，α为第四象限角，

y－5m5sin α＝＝＝－，

r13m13x12m12cos α＝＝＝，

r13m13y－5m5tan α＝＝＝－.

x12m12若m<0，则r＝－13m，α为第二象限角，

y－5m5sin α＝＝＝，

r－13m13x12m12cos α＝＝＝－，

r－13m13y－5m5tan α＝＝＝－. x12m12[对点训练] 1．(1)α是第四象限角，P(5，x)为其终边上一点，且sin α＝106210

B.

C.

D．－

44442x，则cos α的值为(

) 4A.π(2)若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于(

) 2A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析：(1)选A

由定义可得sin α＝10.

4π(2)选B

∵－<α<0，∴tan α<0，cos α>0，

2∴点P(tan α，cos α)位于第二象限.

x25＝x，x<0，可得x＝－3，∴cos α＝22x2＋54＝

三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：

(1)先用诱导公式化为同角三角函数．

(2)再用同角三角函数关系化简．

用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．

2＋tan（θ－π）[典例2]

已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．

1＋tan （2π－θ）2＋tan（θ－π）2＋tan θ解：＝＝－4，解得tan θ＝2.

1＋tan （2π－θ）1－tan θ(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)

＝sin θcos θ－sin2

θ－3cos2

θ＋3sin θcos θ

4sin θcos θ－sin2

θ－3cos2

θ＝

sin2

θ＋cos2

θ4tan θ－tan2

θ－3＝

tan2

θ＋14×2－22－3＝

22＋11＝.

5[对点训练] 2．化简下列各式：

sin3（π＋α）cos（－α）cos（π－α）(1)＋

tan3（π＋α）cos3（－α－π）cos（α＋3π）sin2（α＋3π）cos23π＋α2；

tan（α＋5π）tan（π＋α）cos3（π＋α）tan（－510°）cos（－210°）cos 120°sin 29°(2)＋－tan 36°·tan 54°. tan（－600°）sin（－330°）cos 61°

解：(1)原式

－sin3αcos α（－cos α）（－cos α）sin2αsin2α＝＋

tan3α（－cos α）3tan αtan α（－cos α）3sin3αcos2αcos αsin4α＝－3＋2

sinαsinα·cos3α·cos3α32cosαcosα＝－cos2α＋sin2α

＝2sin2α－1.

(2)原式

＝－tan 510°cos 210°cos 120°sin 29°＋－tan 36°·tan 54°

－tan 600°（－sin 330°）cos 61°tan（360°＋150°）cos（180°＋30°）cos（180°－60°）＝－＋1－

tan（2×360°－120°）sin（360°－30°）tan 36°tan 54°

tan 150°（－cos 30°）（－cos 60°）＝－

tan（－120°）（－sin 30°）＝tan（180°－30°）cos 30°cos 60°

tan（－180°＋60°）sin 30°（－tan 30°）cos 30°cos 60°

tan 60°sin 30°3. 6

(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．

周期变换ω(ω>0)→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A(A>0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A>0)．注意二者平移量的不同．

(3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．

①平衡点法

＝＝－

x＋φ知它的平衡点的横坐标为－φ，由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asinω所以我们可以找与原ωωφ点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ. ω②确定最值法

这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．

③利用单调性

将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ. π[典例3]

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<的图象上的一个最低点为2M2π，－2，周期为π. 3(1)求f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得π的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；

6π(3)当x∈0，时，求函数f(x)的最大值和最小值．

122π解：(1)由题可知T＝＝π，

ω∴ω＝2.又f(x)min＝－2，

∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sinπ∵0<φ<，

2∴4π4π11π<＋φ<.

3364π3πππ＋φ＝.∴φ＝.∴f(x)＝2sin2x＋.

32664π＋φ＝－1.

3∴πππ1横坐标伸长到原来(2)y＝2sin2x＋的2倍（纵坐标不变）――→y＝2sin×2x＋＝2sinx＋6626

沿x轴向右平移―π―6个单位→y＝2sinx－π6＋π6＝2sin x，∴g(x)＝2sin x.

(3)∵0≤x≤ππππ12，∴6≤2x＋6≤3.

∴当2x＋πππ6＝6，即x＝0时，f(x)min＝2sin 6＝1，

当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)πmax＝2sin 3＝3. [对点训练] 3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间π3π2，2内的图象大致是(

解析：选D

当x∈π2，π时，sin x≥0，tan x≤0，

∴tan x－sin x≤0.

∴y＝tan x＋sin x－(sin x－tan x)＝2tan x.

同理，当x∈3ππ，2时，sin x<0，tan x>0，

故tan x－sin x>0.

∴y＝tan x＋sin x－(tan x－sin x)＝2sin x.

综上可知，选项D正确．

4．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．

)

(1)求此函数解析式；

(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？

解：(1)由图象知

31－－－221A＝＝，

2231－－＋22k＝＝－1，

2T＝2×2ππ3－6＝π，

2π1∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.

T2ππππ当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.

6626π1∴所求函数解析式为y＝sin2x＋－1.

26ππ(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sinx＋，然后纵坐标保持不变、横坐标66π11缩短为原来的，得到y＝sin2x＋，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝

226πππ111sin2x＋，最后把函数y＝sin2x＋的图象向下平移1个单位，得到y＝sin2x＋222666－1的图象.

(1)函数y＝sin x和y＝cos x的周期是2π，y＝tan x的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是2ππ，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是. |ω||ω|(2)函数y＝sin x和y＝cos x的有界性为：－1≤sin x，cos x≤1，函数y＝tan x没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．

πππ3π(3)函数y＝sin x在－＋2kπ，＋2kπ上递增，在＋2kπ，＋2kπ上递减；2222函数y＝cos x在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tan x在－π＋kπ，π＋kπ上递增，以上k∈Z. 22(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．

[典例4]

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x∈(0，7π)内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值－3. (1)求此函数解析式；

(2)写出该函数的单调递增区间．

T解：(1)由题可知A＝3，＝5π，

2∴T＝10π.

2π11π∴ω＝＝，π＋φ＝.

T5523π∴φ＝.

1013π∴y＝3sinx＋.

510π13ππ(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，

25102得10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z.

∴函数的单调递增区间为

{x|10kπ－4π≤x≤10kπ＋π，k∈Z}．

[对点训练] π5．函数f(x)＝3sin2x－的图象为C. 3

11π①图象C关于直线x＝对称；

12π5π②函数f(x)在区间－，内是增函数；

1212π③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 3以上三个论断中，正确论断的个数是(

) A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选C

①f3π11π11ππ＝3sin－＝3sin 2＝－3，

312611π∴直线x＝为对称轴，①对；

12π5ππππ②由－

1212232ππ由于函数y＝3sin x在－，内单调递增，

22π5π故函数f(x)在－，内单调递增，②对；

1212ππ③f(x)＝3sin 2x－，而由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 36π2x－的图象，得不到图象C，③错．

3