2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计

2.3.2

平面向量基本定理、

平面向量的正交分解及坐标表示

1.理解平面向量的基本定理及其意义,理解掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.理解平面向量基本定理的形成过程,掌握正交分解下向量的坐标表示,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁.

重点:正交分解下向量的坐标表示.

难点:平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示.

学法指导:通过自主预习课本和导学案,探究平面向量基本定理的形成过程,从而掌握平面向量基本定理的含义及其意义.小组合作探究物理学中力的分解这一知识,进而理解向量的正交分解概念以及坐标表示,形成分析、归纳的思维能力.

如图,光滑斜面上一个木块受到重力G的作用,产生两个效果,一是木块受平行于斜面的力F1的作用,一是木块产生垂直于斜面的压力F2,这三个力之间有什么关系?

在物理中,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.即上述三个力之间的关系为G=F1+F2.

问题1: 平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个

不共线

的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数

λ1,λ2

,使a=λ1e1+λ2e2.其中,我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组

基底

.

问题2: 两向量的夹角:如图,已知两个非零向量a和b.作 =a, =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的

夹角

.特别地,(1)当θ=

0°

时,a与b同向;(2)当θ=

180°

时,a与b反向;(3)当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.

问题3:向量的坐标表示:如图,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面的任一向量,由平面向量基本定理,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作

a=(x,y)

,其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫作a在y轴上的坐标.

问题4:说说点的坐标与向量坐标的联系与区别

(1)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

(2)区别: ①表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.

②意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).

在解具体问题时,要选取适当的基底,使其他向量能够用基底来表示.选择不共线的两个向量e1,e2,平面上的任何一个向量a都可以用e1,e2唯一表示为a=λ1e1+λ2e2,这样几何问题就转化成了代数问题,转化成了只含有e1,e2的代数运算.

1.已知i,j分别为与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用i,j表示为(

).

A.a=3i+4j

B.a=3i-4j

C.a=-3i+4j D.a=4i+3j

【解析】a=(3,4)=3i+4j.

【答案】A

=λ +μ

,则λ+μ的值是(

).

2.在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD边的中点,若 A.1

B.

C.-

D.-

), ),所以【解析】由D是BC边的中点,E是AD边的中点,得 =( +

= =( +

=

+ =-

+

( +

)=

-

,所以λ=

,μ=-

,故λ+μ=-

.

【答案】D 3.已知a,b为非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为

.

【解析】由题意可得a,b,a-b构成等边三角形,所以a,b构成的角为60°.又a+b平分a,b构成的角,所以a与a+b夹角为30°.

【答案】30°

=d,试用c,d表示 4.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知 =c,

, .

=

b, 【解析】设 =a, =b,因为M,N分别为CD,BC的中点,所以

=a,

解得

于是有

-

-

即 =(2d-c), =(2c-d).

对基底概念的理解

如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法不正确的是(

).

①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个; ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.

A.①②

B.②③

C.③④

D.②

【方法指导】考查两个向量是否能构成基底,关键是看两个向量是否为非零向量且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.

【解析】由平面向量基本定理可知,①④是正确的.

对于②,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底一旦确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所以②不正确.

对于③,当两个向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,所以③不正确.

【答案】B 【小结】解决此类问题时,容易忽视对零向量的考虑,在判断时一定要考虑全面.

平面向量基本定理的应用

=a,

=b,试用a,b表示 在平行四边形ABCD中,设

, .

【方法指导】可以直接利用向量加减法的运算法则进行分解、转化;也可以先用未知向量 , 表示a,b,然后通过解方程求得 , .

【解析】(法一)如图,

设AC,BD交于点O,则有

= =

=a,

=

=

b.

=

= + = - =a-b, 所以

= + =a+b.

(法二)设 =x, =y, ,

,且 则有 + =

- =

= =y,

所以

-

所以x=a-b,y=a+b, 即 =a-b, =a+b.

【小结】利用x,y作为基底将a,b表示出来建立方程组是解决本题的关键.

向量坐标表示的应用

在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.

【方法指导】本题主要考查向量的正交分解,把它们分解成横、纵坐标的形式.

【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则a1=|a|cos 45°=2×=

,

a2=|a|sin 45°=2×

=

, b1=|b|cos 120°=3×(-

)=-

, b2=|b|sin 120°=3×

=

,

c1=|c|cos(-30°)=4×

=2

, c2=|c|sin(-30°)=4×(-

)=-2.

因此a=(

,

),b=(-,

),c=(2

,-2).

的坐标为【小结】(1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量,而与向量的位置无关,如右图 (

-

,

-

).

(2)利用任意角的三角函数的定义,若a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ,则有

1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是(

).

A.e1,e1+e2

B.e1-2e2,e2-2e1

C.e1-2e2,4e2-2e1

D.e1+e2,e1-e2

【解析】因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以向量e1-2e2与4e2-2e1共线,故e1-2e2,4e2-2e1不能作为基底.

【答案】C

=2

,DC和OA交于点E,设 2.如图所示,已知在△AOB中,点C是以A为中点的点B的对称点,

=a, =b.

(1)用a,b表示 , ; =λ ,求实数λ的值.

(2)若

=

【解析】(1)由题意,A是BC的中点,且

,

由平行四边形法则,得 + =2 .

=2 - =2a-b, 所以

=(2a-b)-

b=2a-

b.

= -

∥ (2)由题意,

,

= - =(2a-b)-λa

因为

=(2-λ)a-b, =2a-b,

所以

-

=,解得

λ=

.

3.如图,把一腰长为3,底角为30°的等腰三角形放在平面坐标系xOy内,i,j分别为与x轴,y轴方向相同的两个 , ,并写出A,B的坐标.

单位向量.用i,j分别表示 【解析】 =(3cos 30°)i+(3sin 30°)j= =(2×3cos 30°)i=3

i.

故A(

,),B(3

,0).

i+

j,

1.已知i,j分别为与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,若a=3(i+j)+6(-i+j),则a的坐标为(

).

A.(3,6)

B.(-3,9) C.(3,9) 【答案】B 2.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1等于(

).

A.0

B.1

C.-1

D.

【解析】由c

=λ1a+λ2b,c与b共线,得λ1=0.

【答案】A

D.(-3,-9) 【解析】由a=3(i+j)+6(-i+j)=-3i+9j,得a的坐标为(-3,9).

3.已知基底i,j,向量a,b在直角坐标系中的位置如图所示,则向量a的坐标为

,b的坐标为

.

【解析】由图可知, a=2i+4j,所以a=(2,4).

b=4i+j,所以b=(4,1).

【答案】(2,4)

(4,1) 4.已知e1,e2是平面内不共线的两个向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用a,b表示c.

【解析】由a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,可知向量a,b不共线,所以可设c=xa+yb(x,y∈R), 则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2, -

又因为e1,e2不共线,所以

-

-

解得

所以c=a-2b.

-

),则 的夹角为

.

(2014年·新课标全国Ⅰ卷)已知A,B,C是圆O上的三点,若 =( +

与

=( +

),所以点O是△ABC中边BC的中点,故BC为圆O的直径, 【解析】因为 与

的夹角为90°.

根据圆的几何性质,知 【答案】90°

1.设O点是平行四边形ABCD两对角线的交点,在下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(

).

与

与 ① 与 ;② 与 ;③

;④

.

A.①②

B.①③

C.①④

D.③④

与 不共线,

与 不共线,所以①③可以作为这个平行四边形所在平面的基【解析】依题意,因为 底.

【答案】B 2.已知i,j分别为与x轴,y轴方向相同的两个单位向量,则下列各组向量能为正交基底的是(

).

A.j与i+j

C.i与i-j

【答案】B 3.已知a=(3,1),b=(x-1,y),且a=b,则x=

,y=

.

【解析】因为a=b,所以(3,1)=(x-1,y),

-

所以

解得

【答案】4

1 4.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分别是DA,BC的中点,且 , , .

=k,设 =e1, =e2,以 B.i+j与i-j

D.i+j与-i-j

【解析】以i,j为邻边构造正方形,画图可以作出判断.

e1,e2为基底表示

=e2,DC∥AB,且【解析】因为 又 + + + =0, 所以 =- - - =- + + =e1+(k-1)e2.

因为M,N分别是DA,BC的中点,

=

( 所以 + )=(k+1)e2.

=k =ke2.

=k,所以

=5e1, =3e2,则 =(

).

5.如图,在矩形ABCD中,若

A.(3e2+5e1)

B.(5e1-3e2)

C.(3e2-5e1)

D.(-5e1-3e2)

= =( + )=( + )=(3e2+5e1).

【解析】依题意, 【答案】A 6.已知A,B,C三点在同一条直线上,O为直线外一点,若p +q +r =0,其中p,q,r∈R,则p+q+r=(

).

A.-2 B.0 C.1 D.2 , 【解析】因为A,B,C三点在同一条直线l上,所以存在实数λ使 =λ

- =λ( - ),即(λ-1) + -λ =0.

所以 +q +r =0,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.故选B.

因为p 【答案】B = +

,则点Q的运动轨 + 7.在△ABC中,点P在直线BC上,点Q在△ABC所在的平面内运动,且满足 迹是

.

, 【解析】以 , 为邻边作平行四边形APBD,则 ∥ ;再以

为邻边作平行四边形,则该平行四边形的第四个顶点为Q.故点Q在直线AD上.

【答案】过点A且平行于BC的直线

8.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.

(1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式; (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.

【解析】(1)假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2),由e1,e2不共线,得

故λ不存在,

- 所以a与b不共线,可以作为一组基底.

(2)设c=ma+nb(m,n∈R), 3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.

即

解得

所以c=2a+b.

-

-

(3)由4e1-3e2=λa+ub,

解得

得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(λ+u)e1+(-2λ+3u)e2,即

-

-

=n.

9.在平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N为BC的中点,设 =b, =d, =m,

=

; (1)以b,d为基底,表示 (2)以m,n为基底,表示 =

.

- =

)-( 【解析】(1) =( +

+ )=(b+d)-(d+b)=b-d.

+ ,

①

=d+

(2)因为m=

= n= +

+d,所以2n=2 +d,

②

由①②消去d,得 =n-m.

【答案】(1)b-d (2)n-m

10.已知e1,e2为平面σ的基底,对于非零向量p,q,如果存在不全为零的常数m,n使得mp+nq=0,那么称向量p,q是线性相关的,否则称p,q是线性无关的.对于平面σ内两个向量a=3e1-4e2,b=e1+e2,试判断向量a,b是线性相关的,还是线性无关的.为什么? 【解析】假设存在不全为0的常数m,n使得ma+nb=0, 则3me1-4me2+ne1+ne2=0,

即

解得m=n=0.

-

所以不存在不全为零的常数m,n,使得ma+nb=0成立.故a,b是线性无关的.