2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀公开课教案

平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计

一、教材与学情分析

作为一种数学工具，向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究，这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便．联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj. 于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

学生刚刚学习了向量的线性运算和平面向量的基本地理，这些多跟几何联系，本节课要实现向量的数化，这对学生也是一个思维上的挑战，要多引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论交流等活动，引导学生总结知识获得过程中的思想方法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标并进行大量的练习。

二、教学目标：

知识与技能：

1能把平面向量基本定理应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解。

2理解平面向量的坐标概念，会用坐标表示向量．

过程与方法：

通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，渗透数形结合思想，激发学生的探究精神，增强学生知识的应用意思。

情感、态度与价值观

通过学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

三．重点难点 重点：平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

难点：平面向量的坐标表示的生成过程的理解

四、教学方法

问题引导，主动探究，类比联想，启发式教学．

五．教学模式

分层教学

六．教具

多媒体课件、彩色粉笔、三角尺

七、教学过程

环节

具体内容及形式

师生活动

设计意图

师生共同回顾

平面向量基本定理：

复

平面向量基本复***面向量基本

定理，教师从学定理, 为下一步将如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那生活动出发，习

进基底特殊化引出新

么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数行评价、拓展，课做准备. 引

为新课的讲解λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

作铺垫.

入

定理说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一

正交分解

F1

G F2

即GF1F2叫做把重力G分解

设置探究式教学，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量让学生经历知识的形成、发展、应用a均可以分解为不共线的两个向1a1和2a2

的过程，从而达到对知识的深刻理解使得a1a1和2a2

与灵活应用，充分 在不共线的两个向量中，把一个向量分解为体会数学探索的乐两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

趣.

教师引导学生

恰当的选取基问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一底，完成基底特对实数来表示，向量可以吗？

殊化的过程

新

解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向

量基本定理中的正交分解构造平行四边形，如

知

图：

y

探

a

索

教师通过多媒

体课件演示，

j o i x 使学生直观理解平面向量的结论：若axiyj，则a =(x,y)叫做向量的坐标概念,明坐标表示. 确求向量坐标

的思路.

问题二:所有相等的向量其坐标相同吗(A类) 解决途径：同样以向量i,j为基底，利用平面向量基本定理中的正交分解构造平行四边形，

发现相等向量分解时相同的

结论：所有相等的向量其坐标相同

应用一:初步运用定义求特殊向量的坐标. i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)

应用二：

新

知

探

索

及

应

用

根据刚才的讲解学生对知识进行应用，通过教师进一步演示多媒体课

件从而找到特探究

殊向量的坐标 如图，在直角坐标表示，进而理平面内，以原

解向量坐标表点O为起点作OA=a，示的意义，从则点A的位

而突破本节课置由a唯一确定

的难点

设OA=xi+yj，则向

量OA的坐标

教师提问：向（x,y)就是点A的量在坐标平面坐标；反过来，

内任意平移而点A的坐标（x,y)坐标不变，那也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐么将其起点放标系内，每一个平面向量都可以用

在什么位置更一对实数唯一表示。

有利于研究

呢？

应用三：例2、用基底i、j分别表示向量a、

b、c、d，并写出它们的坐标. 教师利用

多媒体课件演

示引导学生把

任意向量用起

点在原点的向

量来表示.寻

找各知识点的

联系，挖掘问

题实质.

应用四：若已知a=（1，3），b=（5，1），求

a+ b，a-b的坐标。

采用分层教学的教学模式，学生依据不同层次的教学目标进行分层研学,这既是培养学生学习能力的重要手段,也是发挥学生主体地位的有效途径。教师应提出研学的具体要求及方法或提示，并设计思考题，为学生创设分层研学的学习环境。教师在学生分层研学过程中可作指导，随时解答学生提出的疑难问题，从而调动学生学习积极性、主动性，使其自身的学习能得到不断提高。

利用小组讨论的方法进行探究活动，从而完成对本节知识点的学习，教师对两个探究内容进行分析，从而得出结论，并给出恰当的评价。

总

结

评

价

强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫. 在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充. 帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固理解和掌握

作业

课本第101页第1、2、3题

八、教学反思

1教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

2如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．