小结教案教学设计

如何建立空间直角坐标系

南海大沥高级中学

高振球

---2017、12、21 教学目标：掌握建立空间直角坐标系的几种题型方法，通过合理地建立空间直角坐标系，进而运用向量方法更加快速简洁地解决平面几何问题。

学情分析：学生已经学***面向量》这章内容，而要运用平面向量去解决平面几何问题，关键是建立空间直角坐标系，本节课就是在基础上进行相关系统归纳总结。

教学内容分析：通过近几年高考真题，让学生掌握建立空间直角坐标系的几种题型方法：利用共顶点的互相垂直的三条棱建系；利用线面垂直关系建系；利用面面垂直关系建系；利用中心点建系等等。

教学环节与活动：

一、知识要点：

1、空间直角坐标系的定义：

空间任意选定一点O,过点O作三条互相垂直的数轴Ox，Oy，Oz，它们都

以O为原点且具有相同的长度单位。这三条轴分别称作x轴（

轴），y轴（

轴），z轴（

轴），统称为坐标轴。

2、空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴互相

；

面xoy、面yoz、面xoz互相

；

面xoy的法向量可取为n1=

、

面yoz的法向量可取为n2=

、

面xoz的法向量可取为n3=

。

二、习题练评：

题型一：利用共顶点的互相垂直的三条棱建系

①【2015年安徽理19】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F.

（Ⅰ）证明：EF//B1C；

（Ⅱ）求二面角EA1DB1余弦值. 

②【2015年上海理19】如图，在长方体CD11C1D1中，11，D2，、F分别是、C的中点．证明1、C1、F、四点共面，并求直线CD1与平面1C1F所成的角的大小.

③【2017年天津理17】如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.

（1）求证：MN//平面BDE；

（2）求二面角CEMN的正弦值；

（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角

的余弦值为

题型二：利用线面垂直关系建系

⑴【2016年全国2理19】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5,AC6，点E,F分7，求线段AH的长. 21别在AD,CD上，AECF5，EF交BD于点H．将DEF沿EF折到DEF位置，OD10．

4（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值．

PA底面ABCD，AD∥BC，ABADAC3，⑵

【2016年全国3理19】如图，四棱锥PABC中，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，

N为PC的中点．

（I）证明:MN∥平面PAB；

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

题型三：利用面面垂直关系建系

1. 【2017年北京理16】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PAPD6，AB4．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角BPDA的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

2. 【2016年全国1理18】如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, AFD90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

题型四：利用中心点建系

Ⅰ. 已知正四棱锥S -ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，求AE，SD所成角的余弦值.

Ⅱ.【2015年全国1理18】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

课后拓展

㈠【2016年浙江理17】如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：BF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

㈡【2016年山东理17】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线. （I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=

㈢

【2016年天津理17】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=1AC=23，AB=BC.求二面角FBCA的余弦值. 22HF，

3求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

教学评价：因本节课的重点在于掌握建立空间直角坐标系的几种题型方法，通过建立空间直角坐标系来求二面角的余弦值、线面所成角的正弦值等，而对于第一问中有关求证线面平行、垂直等不作详细练习，所以本节教学不算严谨，只是有所侧重，解决某一方面的问题。