阅读与思考 向量及向量符号的由来教学设计方案

课题名称： 2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念（1）

课程模块及章节： 第二章 第一节 备课时间：2017-2 学科：数学 备课组：高一数学

主备教师： 备课组长： 组员：

教学背景分析

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用。理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 正确区分向量平行与直线平行．(易混点)

教师二次备课

教学目标

1．知识与技能

(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．

(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．

(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．

2．过程与方法

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．

3．情感、态度与价值观

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．

教学重点和难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．

难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．

教学准备、教学资源和主要教学方法

问题学习法、自主学习与合作探究相结合。

学生为主的活动

教学过程 教学环节

导入新课

教师为主的活动

设计意图

目标引领

【问题导思】

1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

【提示】

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．

2．有向线段就是向量，向量就是有向线段，对吗？为什么？

【提示】

不对．有向线段是一个几何图形，具有起点、大小、方向三要素构成；而向量只有大小和方向两要素，因此二者是两个完全不同的概念．

把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。

学生开始思考。

创设情

境，激发

学生的求知欲。

一起朗读目标。

以目标引领学习的全过程。

活动导学

1．向量与数量。

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．向量的几何表示。

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

→→(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小也就是向量 AB的→长度(或称模)，记作|AB|.向量也可以用字母a、b、c…表示，→→也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD. 【问题导思】

零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？

【提示】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同. 名称

零向量

单位向量

下列说法正确的有________．

(1)若|a→|＝|→b|，则a＝b或a＝－b；

(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

→→(3)向量AB与BA是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

【思路探究】

明确向量的有关概念，根据定义进行判定．

【自主解答】

(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不→→要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．→→

(3)正确．向量AB与BA是长度相等，方向相反的两个向量．

(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

【答案】

(3)

1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．

2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．

判断下列说法是否正确，并简要说明理由：

(1)零向量只有大小没有方向；

(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；

(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；

定义

长度为0的向量，记作0 长度等于1个单位的向量

学生带着问题去阅读课本。

学生自己动手尝试。

教师通过分析、讲解，帮助学生理解概念。

通过例1来加深对“向量”的理解。

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c. 【解】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．

(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．

(3)不正确，向量不能比较大小．

(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

(1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．

图2－1－1 (2)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达点．

→D→→→①作出向量AB，BC，CD→. ②求AD的模．

→【思路探究】

1.向量BC与CB是相等向量吗？可以从哪两个角度列出满足题意的向量？

2．用有向线段表示向量时，向量的两个要素是如何表达出来的？

【自主解答】(1)设线段AD的长度是3，则长度为1的向量→→→

→→→有AB＝BC＝CD，BADC，共→＝CB→＝→→2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC→＝BD→，CA＝DB，共2个互不相等的非零向量；长度为3的向量有AD，DA，共2个互不相等的非零向量，

综上知，最多可以写出6个互不相等的非

零向量．【答案】→

6 →→(2)①作出向量AB，BC，CD，如图所示：

②由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，22其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝510→＝55(米)．所以|AD|＝55米．

1．向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的→→→起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等．

2．两种向量表示方法的作用

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．

(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．

学生自己动手尝试。

通过两道变式，增强学生的理解与把握。

在如图所示的坐标纸中每个小正方形的

边长为1，用直尺和圆规画出下列向量：

图2－1－2 →(1)|→OA|＝3，点A在点O正东方向．

(2)|→OB|＝3，点B在点O正西方向．

(3)|→OC|＝42，点C在点O东北方向．

(4)|OD|＝2，点D在点O西南方向．

【解】

如图所示．

下列说法正确的个数是(

) 当堂评价

①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②

任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a

与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非学生合作零向量不平行．

交A．1

B．2

C．3

D．4 流。

【错解】

向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同

(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．

【答案】

B或C或D

【错因分析】

对共线向量的概念理解不清，零向量与任

一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何

中的共线和平行不同．

学生【防范措施】

正确理解共线向量、相等向量以及非零向自己量的概念及其性质是关键．

检测自己【正解】

事实上，对于①，由于零向量与任意向量都

的学共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两习效个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，果。

向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．【答案】

A

通过练习让学生巩固新知，达成目标。

板书设计

2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念（1）

物理背景: 例 学习目标

向量的定义：

变式

练习

1、……

向量的表示：

2、……

教学反思