复习参考题优质课教案

专题复***面向量

【学习目标】

1.平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2.向量的线性运算

（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义；

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积

（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力. 【知识网络】

1

【要点梳理】

要点一：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如a,b,c,等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB，CD等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点O为在坐标原点，终点A坐标为x,y，则x,y称为OA的坐标，记为OA=x,y. 3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a与b相等，记为ab. 4.零向量：

长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 2

6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算

1.运算定义

运 算

加法与减法

图形语言

符号语言

坐标语言

OA+OB=OC

记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2) 则OAOB=(x1+x2，y1+y2) OBOA=AB

OBOA=(x2-x1，y2-y1) OA+AB=OB

实数与向量的乘积



ABa

记a=(x，y) 则ax，y

记a(x1,y1),b(x2,y2)

则ab=x1x2+y1y2



两个向量的数量积

2.运算律

加法：

R

ababcosa,b

①abba(交换律)； ②(ab)ca(bc)(结合律) 实数与向量的乘积：

①(ab)ab；

②()aaa；③(a)()a

两个向量的数量积：

①a·b=b·a；

②(a)·b=a·(b)=(a·b)；③(a+b)·c=a·c3

+b·c

3.运算性质及重要结论

(1)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合. ①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. ③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)

坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则a∥b(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件

符号语言：abab0

坐标语言：设非零向量ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20

(4)两个向量数量积的重要性质：

①a|a|

即

|a|222a(求线段的长度)；

②abab0(垂直的判断)；

③cosabab (求角度). 4

要点诠释：

1. 向量的线性运算

(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；

(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：

先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

a//bab(b0)(x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

abab0x1x2y1y20

③求夹角问题，利用cosabab2x1x2y1y2x1y122x2y222

④求线段的长度，可以利用|a|

【例题讲解】

(x2x1)2(y2y1)2

a或PP12一

平面向量的线性运算

→→1.(2015·新课标全国Ⅰ）已知点A(0，1），B(3，2），向量AC＝(－4，－3），则向量BC＝(

）

A.(－7，－4）

B.(7，4）

C.(－1，4）

D.(1，4）

5

→→2.(2014·新课标全国Ⅰ）设D、E、F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝

→A.BC

1→

B.AD

2→C.AD

1→D.BC

23.已知向量a＝(2，1），b＝(1，－2），若ma＋nb＝(9，－8）(m，n∈R），则m－n的值为________.

4.设向量a＝(2，4）与向量b＝(x，6）共线，则实数x＝(

）

A.2

B.3

C.4

D.6 二

平面向量的数量积及其几何意义

1.(2015·新课标全国Ⅱ）已知a＝(1，－1），b＝(－1，2），则(2a＋b）·a＝(

）

A.－1

B.0

C.1

D.2 →2.(2015·广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2），→→→AD＝(2，1），则AD·AC＝(

）

A.5

B.4

C.3 D.2 →→→→→3.已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________. 4.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段→2→→1→→→BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________. 365.已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6），|b|＝10，则a·b＝_____. 三

两平面向量的夹角

Com

1.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b），则a与b的夹角为(

）

πA.

3π

B.

22πC.

35πD.

6π2.已知向量a＝(1，3），b＝(3，m）.若向量a，b的夹角为，则实数m＝(

）

6A.23

B.3

C.0

D.－3

3.平面向量a＝(1，2），b＝(4，2），c＝ma＋b(m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(

）

A.－2

B.－1

C.1

D.2

14.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，3则cos β＝________. →1→→→→5.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC），则AB与AC的夹角为________. 2

6

6.(2014·新课标全国Ⅱ）设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝(

）

A.1

B.2 C.3

D.5

四

共线向量定理与平面向量平行、垂直的应用

1.设a＝(1，2），b＝(1，1），c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(

）

3A.－

25

B.－

35

C.

33

D.

22.已知向量a＝(k，3），b＝(1，4），c＝(2，1），且(2a－3b）⊥c，则实数k＝(

）

9A.－

2B.0

C.3

15D.

2π3.设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ），b＝(cos θ，1），若a∥b，则tan θ＝________. 24.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1），且λa＋b＝0(λ∈R），则|λ|＝________. 五

与向量有关的综合问题

π1.在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB＝，点E，3→→→→→→F分别在BC，DC边上，且BE＝2EC，DF＝FC，则AE·BF＝(

）

8A.－

B.－1

310C.2

D.

3→→→→→→2.设等边三角形ABC边长为6，若BC＝3BE，AD＝DC，则BD·AE等于(

）

A.－621

B.621

C.－18

D.18 →→→→3.在△ABC中，|AB|＝|BC|＝3，∠ABC＝60°，AD是边BC上的高，则AD·AC的值等于(

）

9A.－

49B.

427

C.

4

D.9 4.在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分点，→→→→则CP·CB＋CP·CA＝________. →→→5.已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E、F分别为BC、CD的中点，则(AE＋AF）·BD＝________. 课后巩固

1.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段→2→→1→→→BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________. 362.已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6），|b|＝10，则a·b＝_____. π→→3.在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________. 67

14.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________. 2

5.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0），|b|＝1，则|a＋2b|等于(

）

A.22

B.23

C.4

D.10 6.若非零向量a，b满足|a|＝πA.

422|b|，且(a－b）⊥(3a＋2b），则a与b的夹角为(

）

33πC.

4π

D.

3π

B.

27.已知向量a＝(2，1），a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝(

）

A.5

B.10

C.5

D.25

8.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是(

）

A.0

13B.

C.

22D.1

9.已知向量a＝(k，3），b＝(1，4），c＝(2，1），且(2a－3b）⊥c，则实数k＝(

）

9A.－

2B.0

C.3

15

D.

210. 设平面向量a＝(1，2），b＝(－2，y），若a∥b，则y＝________. 11.已知a1，

b2，且aab，则向量a在b方向上的投影为（ ）

12 D.

22A. 1 B. 2 C. 12.已知向量a，

b的夹角为60，

a2,b5，则2ab在a方向上的投影为______ 13.已知向量m＝(sin ωx，cos ωx），n＝(cos ωx，cos ωx），其中ω＞0函数f(x）＝2m·n－1的最小正周期为π.

(1）求ω的值；

ππ(2）求函数f(x）在6，4上的最大值. 14.已知向量a＝31，函数f(x）＝a·b. sin x，cos x，b＝(cos x，cos x）22(1）求函数f(x）的单调递增区间；

1(2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A）＝，a＝3，

2S△ABC＝

8

3，求b＋c的值. 2