2.1.3 相等向量与共线向量教学设计思路

第十一节、平面向量

【基础知识】

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。（2）零向量： ，记作： ，注意零向量的方向是 的；

（3）单位向量： 叫做单位向量(与AB共线的单位向量是 )；

（4）相等向量： 的两个向量叫相等向量，相等向量有 性；

（5）平行向量（也叫 ）： 向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量 。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条

AC共直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A、B、C共线AB、线；

（6）相反向量： 的向量叫做相反向量。a的相反向量是 。

2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，j为基底，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a= 4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向 ，当<0时，a的方向与a的方向 ，当＝0时，a= ，注意：a≠0。

坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：①向量的加减法运算：ab 。

②实数与向量的积：a = 。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角： 当0时，a与b ，当时，a与b ，当2时，a与b 。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b，它们的夹角为，我们把数量 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝ ___________。规定： ___，注意数量积是一个 数，不再是一个向量。

④平面向量数量积：abx1x2y1y2。

⑥两点间的距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx1x2y1y222。

6、向量平行(共线)的充要条件：  7、向量垂直的充要条件：.   【基础训练】

1、下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 ①共线向量是在同一条直线上的向量 ②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 ④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB与CD，BC与AD分别共线. 2、下列各式或命题中： b

满① ABACBC ②

ABBA0

③ 0AB0

④若两个非零向量a、足

akb (k≠0)，则a、b同向．

正确的个数为 （ ）A．0 B．1 C．2 D．3 3、在矩形ABCD中，O为AC中点，若

BC=3a, DC=2b, 则AO等于 （ ）

A．1111(3a+2b) B． (3a－2b) C． (2b－3a) D． (3b+2 22224、若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为（ ）

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

5、已知a1,b6,a(ba)2,则向量a与向量b的夹角是（ ）A． B．64

C．

D．

32

6、已知a(3,2),b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为（ ）

（A）1111（B）（C）（D）7766

7、在△ABC中，∠C=90°，AB(k,1),AC(2,3),则k的值是

（ ）A．5 B．－5

C．3 D．3

228、若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( ) A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D.

a+3b

060b1a2bb9、平面向量a与的夹角为，a(2,0)，

则=( )

（A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 10、已知向量a(1,2)，b(2,3)．若向量c满足(ca)//b，c(ab)，则c

（ ）

A．(,) B．(7793777777,) C．(,) D．(,) 39933911、已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，如果c∥d，那么

 A．k1且c与d同向 B．k1且c与d反向 C．k1且c与d同向 D．k1且c与d反向

12、若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则2b－a＝ ；2b·a＝ 13、已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1），c＝（－1，2），若c＝ab，则＝ 14、若向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且︱b︱＝35，则b＝ |a|2,|b|3，15、已知向量a和向量b的夹角为30，则向量a和向量b的数量积ab= 。

16、已知向量a(3,1)，b(1,3)，

c(k,2)，若(ac)b

则k= ．

17、已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= 18、如上图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若AB=a,AC=b,则MN=_______.

19、设ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，且ABa，ADb，则下列命题中正确的有 （填序号）①

DCBCab

； ② 当|a|=|b|=|o

a-b|=1时，|a+b|＝3；

③ 当a+b与a-b垂直时，则∣a∣＝∣b∣；

④

当|a+b|=|a-b|时，则a⊥b

20、已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m=(-1,3),n=(cosA,sinA),且m·n=1. (1)

求角A;（2）若

21、已知向量，a(m,1),b(sinx,cosx)，f(x)ab且满足f()1。

1sin2B3,求tanB。

22cosBsinB2（1）求函数yfx的解析式；并求函数yfx的最小正周期和最值及其对应的x值; （2）锐角ABC中，若f(

【高考真题】

12)2sinA，且AB2，AC3，求BC的长．

，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则a（ ）

1、已知向量a(1A．1

B．2

C．2

D．4 2、设P是△ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则（

）

A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0

3、已知向量AB与AC的夹角为120°，且AB3，AC2，若APABAC，且APBC，则实数的值为__________. 4、在平面直角坐标系xOy中，已知OA(1,t)，OB(2,2)，若ABO90，则实数t的值为______ 5、已知向量a1,3，b3,m.若向量a,b的夹角为oπ，则实数m=（ ）

6

（A）23 （B）3 （C）0 （D）3

6、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A（λ∈R），1A3A1A2

A1A4A1A2（μ∈R），且112,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是

A．C可能是线段AB的中点 [Z|X|X|KB．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

7 、如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿. 8、已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60,则BDCD＝（ ）

o （A）9、过点P1,3

作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则PAPB .

32333a （B）a2 （C）

a2 （D）

a2

4422