复习参考题教学设计和教学实录

《两平面向量的数量积复习课》教学设计

【课题】两平面向量的数量积复习课 【课型】高一期末复习课 【授课班级】高一文科班 【授课教师】彭山一中

陈凤 【授课时间】

2019年5月26日 【考纲要求】

（1）理解向量数量及的含义及其物理意义。

（2）了解平面向量数量积与向量投影的关系。

（3）掌握向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。

【情感、态度与价值观目标】

感悟向量在代数与几何中的桥梁作用。

【教学重点】

1.平面数量积的概念和性质。

2.平面数量积的运算律的探究和应用。

【教学难点】

平面数量积的应用。

【教学准备】多媒体课件、投影仪等.

【教学方法】以学生分析为主。

【教学过程】

知识点一

平面向量的数量积

1.两个向量的夹角

→→(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称作向量a与向量b的夹角，记作。

(2)范围：向量夹角的范围是[0，π]，且＝. π(3)向量垂直：如果＝，则a与b垂直，记作a⊥b. 22.平面向量的数量积

（1）平面向量的数量积的定义：|a||b|cos叫做向量a和b的数量积(或内积)，

记作a·b＝|a||b|cos.可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. (2)向量数量积的运算律：①a·b＝b·a(交换律)

②(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) ③(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律）

注意：两向量的数量积不满足结合律与消去律。

1

3.平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2) 性质

定义

几何表示

a·b＝|a||b|cosa，b

坐标表示

a·b＝a1b1＋a2b2

2|a|＝a21＋a2

a·a＝|a|2或|a|＝a·a 模

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

→＝(x－x，y－y)

则AB2121a⊥b的充要条件

夹角

|a·b|与|a||b|的关系

a·b＝0

a·bcos＝|a||b|(|a||b|≠0)

|a·b|≤|a||b|

►两个易错点：平面向量的夹角；数量积的几何意义. →|＝

|AB（x2－x1）2＋（y2－y1）2

a1b1＋a2b2＝0 cos＝a1b1＋a2b22222

a1＋a2·b1＋b2222|a1b1＋a2b2|≤a21＋a2b1＋b2

→→1.[研究向量的夹角时，应注意“共起点”]在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AB·BC＝________. 2.数量积的几何意义：

(2)(数量积的几何意义)→→→1.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB＋AC＝2AO，→→→→且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()333A.B.C．3D．－222

→→2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则DE·CB的值为_________；→→DE·DC的最大值为____________．

知识点二

向量的应用

2

1.向量数量积在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0). (2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题. (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|＝►求向量模的两种方法

3.[①公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再π利用余弦定理等方法求解]已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝________. 3

→→【例1】(2015·宁夏银川一中三模)已知正三角形ABC的边长是3，D是BC上的点，BD＝1，则AD·BC＝(

) →a·a＝x2＋y2或|AB|＝|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 9315A.－

B.－

C.

2225

D.

2【例2】若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为(

) ππ5π2πA.

B.

C.

D.

6363

用向量方法解决平面几何问题解题策略

3

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. →→→→→→【例3】

在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE·AF＝(

) 8102526A.

B.

C.

D.

9999

课后作业：教材P108

A组 8，10，11

B组 2，3，4

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