3.1.2 概率的意义教案（名师）

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课时提升作业(二十) 几何概型

(25分钟

60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选A.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)=. 【补偿训练】某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选C.把汽车到站的间隔时间分为[0，5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0，3]内取值，所以发生的概率为. 2.(2015·顺义高一检测)在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤2的概率是

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选D.因为基本事件空间为[-2，3]，它的度量是长度5，X≤2的度量为4，所以所求概率为. - 1 -

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3.下列概率模型中，几何概型的个数为

(

) ①从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；

②从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③从区间[-10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；

④向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率. A.1

B.2

C.3

D.4 【解析】选B.①不是几何概型，虽然区间[-10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；

②是几何概型，因为区间[-10，10]和[-1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；

③不是几何概型，因为区间[-10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；

④是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有等可能被投到，故满足无限性和等可能性. 4.(2015·临沂高一检测)如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是

(

)

- 2 -

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A.

B.

C.

D.

【解析】选B.设事件A={小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)=圆中的概率为. 【补偿训练】面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选B.向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在

△ABD内为事件M，则P(M)==. =，即小鸡正在正方形的内切5.已知正三棱锥S-ABC，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选B.如图，由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足：

VP-ABC

故使得VP-ABC

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=1-=. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.在区间[-2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=

. 【解题指南】解绝对值不等式，根据几何概型利用区间长度之比求解. 【解析】由|x|≤m，得-m≤x≤m，

当m≤2时，由题意=，m=2.5矛盾，舍去；

=，解得m=3. 当2

. 【解析】如图，

点M在以A为圆心，半径为AC的扇形ACE内，

所以P===.

答案：

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【延伸探究】若本题中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是

. 【解析】设CA=CB=m(m>0)，则AB=设事件M：AM>AC，

即P(M)=答案：1-

==1-. m. 8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为

. 【解析】不在家看书的概率=答案：

三、解答题(每小题10分，共20分) 9.一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少? (1)红灯.(2)黄灯.(3)不是红灯. 【解析】在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型. (1)P=(2)P=(3)P===. - 5 -

==. ==；

==；

=

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10.在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大? 【解题指南】因为硬币能否完全落入某个方格中，关键看硬币的中心落在方格中的哪个位置，若要使硬币完全落入方格中，则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度(即1cm)，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币的中心必须落在以正方形的中心为中心，以5-1-1=3(cm)为边长的小正方形表示的区域内. 【解析】如图，边长为5cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P==.

(20分钟

40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1.(2015·衡水高一检测)在区间“0≤sinx≤1”发生的概率为

(

) A.

B.

C.

D.

【解析】选C.由于x∈，若0≤sinx≤1，

上随机取一个数x，则事件

则0≤x≤，设“0≤sinx≤1”为事件A，

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则P(A)===. 2.如图，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为

(

)

A.

B.

C.

D.

【解析】选C.S矩形=ab. S梯形=b=ab. 故所投的点落在梯形内部的概率为

P===. 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.(2015·威海高一检测)在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是

. 【解析】设在[0，1]内取出的数为a，b，若a2+b2也在[0，1]内，则有0≤a2+b2≤1. 如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，

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满足a2+b2在[0，1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为=. 答案：

【补偿训练】(2015·合肥高一检测)如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为

.

【解析】(用几何概型，化概率为角度之比)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以所求概率P=答案：

4.(2015·西宁高一检测)在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图. ==.

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在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为

. 【解析】由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R=5，圆柱底面半径r=4，高h=6，故球体积V=πR3=所以所求概率P=答案：

=. ，圆柱体积V1=πr2·h=96π，

三、解答题(每小题10分，共20分) 5.图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，求此长方体的体积.

【解析】设长方体的高为h，则题图2中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为(2+2h)(1+2h)，展开图的面积为2+4h.由几何概型的概率公式知=，得h=3，所以长方体的体积是V=1×3=3. 6.如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点.

(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概- 9 -

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率. (2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率. 【解析】(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为. (2)连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，

易求得OD=2，

×8=8，所以只有当S点落在阴影部分当S点在线段MP上时，S△ABS=×2时，△SAB面积才能大于8，而S阴影=S扇形MOP-S△OMP=××42-×42=4π-8，所的概率为=. 以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8【补偿训练】(2014·顺义模拟)已知关于x的一次函数y=ax+b. (1)设集合A={-2，-1，1，2}和B={-2，2}，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率. (2)若实数a，b满足条件的概率. 【解析】(1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2，-2)，(-2，2)，

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求函数y=ax+b的图象不经过第四象限

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(-1，-2)，(-1，2)，(1，-2)，(1，2)，(2，-2)，(2，2)，共8个. 设函数是增函数为事件A，所以a>0，有4个，

所以P(A)=. (2)实数a，b满足条件要函数y=ax+b的图象不经过第四象限，则需使a，b满足1.如图：

即对应的图形为小正方形ODBC，面积为

则根据几何概型的概率公式可得函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率为=.

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