2.1.2 向量的几何表示教案教学设计

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教材分析：

1、课题：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（第一课时）

2、教材所处地位及前后联系：

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念。

3、教学目标：

（1）知识目标：认识、理解平面向量数量积的含义及其几何意义，探究平面向量的数量积性质和运算律，正确熟练地应用平面向量的数量积的定义、运算律进行运算。

（2）能力目标：体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

（3）情感目标：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程及性质、运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究能力。

4、教学重点：平面向量的数量积的概念，性质、运算律及其应用。

5、教学难点：平面向量的数量积、向量投影及运算律的理解。

二、课堂教学过程：

（一）复习引入：

（1）提问：我们在向量的线性运算中主要学习了哪些运算？运算的结果是数量还是向量?两个向量能否作乘法运算呢？如果能，运算的结果应该是什么呢？

教学设想：使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

（2）如图，一物体在力F的作用下产生位移S，

①力F所做的功W= 。 ②请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，

是 与 夹角

教学设想：使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积是有其客观背景和现实意义的，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（二）新课讲解：

1、探究数量积的概念

分析功的计算公式后提问：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果该如何表述？

教学设想：学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；推广到一般向量，则是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，可以进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量

abcos叫做a与b的数量积（或内积），记作：ab，即：ababcos(强调书写，“·”号不能省也不可写成“×”号)



3、讲解例1：（由学生分组完成）已知a5,b4，a与b的夹角为，请根据以下条件求ab：

①300；②1200；③00；④1800；⑤900

教学设想：对课本的例1做了适当改动，让学生从结果理解P104的探究结果，即向量数量积的性质，并要求学生回答以下问题，加深对数量积概念的理解：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：

角的范围

a·b的符号

0°≤<90°

=90°

0°<≤180°

4、探究数量积的几何意义

如图，我们把bcos叫做向量b在a方向上的投影，记做:OB1bcos, 同理，acos叫做a在b方向上的投影，记作OA1acos

B 提问：向量的数量积的几何意义是什么？

教学设想：课本在给出了向量数量积概念后，

只介绍了向量投影的定义，在例1后才以结论的

O B1 A 形式直接出现，似乎不够自然，我作了调整，介绍了投影概念后引导学生回答，让学生从形的角度重新认识数量积的概念，并从中体会数量积与向量投影的关系。

5、探究数量积的运算律

提问：我们学过的实数乘法的运算律有哪些？这些运算律对向量

是否也成立？猜想以下等式是否成立。

①abba

②(ab)ca(bc) ③(ab)cacbc

教学设想：主要是想让学生在类比的基础上猜测提出数量积的运算律。猜测①的正确性是显而易见的，关于猜测②的正确性，提示学生思考下面的问题：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律。

（三）应用与提高

例2、（师生共同完成）已知a6,b4，a与b的夹角600，

求(a2b)(a3b)

例3、（学生独立完成）对任意向量a,b，是否有以下结论？

①(ab)2a22abb2；②(ab)(ab)a2b2

例4、（师生共同完成）已知a3,b4,且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直？

教学设想：例2是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例3给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例4的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

(四)巩固练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①若a0，则对任一非零向量b，有ab0；

②若a0，abac，则bc．

2、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当ab0或ab0时，试判断△ABC的形状。

（五）小结

1、平面向量的数量积定义及其几何意义；

2、平面向量数量积的性质和运算律

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在探究过程中，渗透了哪些数学思想？

（六）布置作业：

1、课本P108习题2.4 A组1、2、3．

2、已知a6,b4，ab542，求a与b的夹角．

2.4.1

平面向量数量积的物理背景及其含义 教案

高中数学组

成艳萍

一、课题：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（第一课时）

二、教学目标：

（1）知识目标：认识、理解平面向量数量积的含义及其几何意义，探究平面向量的数量积性质和运算律，正确熟练地应用平面向量的数量积的定义、运算律进行运算。

（2）能力目标：体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

（3）情感目标：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程及性质、运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究能力。

三、教学重点：平面向量的数量积的概念，性质、运算律及其应用。

四、教学难点：平面向量的数量积、向量投影及运算律的理解。

五、课堂教学过程：

（一）复习引入：

（1）提问：我们在向量的线性运算中主要学习了哪些运算？运算的结果是数量还是向量?两个向量能否作乘法运算呢？如果能，运算的结果应该是什么呢？

（2）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

①力F所做的功W= 。 ②请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 （二）新课讲解：

1、探究数量积的概念

在分析功的计算公式后提问：如何文字语言来表述功的计算公式?如果将公式中的力与位移推广到一般向量，结果该如何表述？

2、概念的明晰

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量

abcos叫做a与b的数量积（或内积），记作：ab，即：ababcos

3、讲解例1：（由学生分组完成）已知a5,b4，a与b的夹角为，请根据以下条件求ab：

①300；②1200；③00；④1800；⑤900

完成后填下表：

=90°

角的范围

0°≤<90°

0°<≤180°

a·b的符号

4、探究数量积的几何意义

如图，我们把bcos叫做向量b在a方向上的投影，记做:OB1bcos, B 同理，acos叫做a在b方向上的投影，记作OA1acos

提问：向量的数量积的几何意义是什么？

O B1 A 5、探究数量积的运算律

提问：我们学过的实数乘法的运算律有哪些？这些运算律对向量

是否也成立？猜想以下等式是否成立。

①abba

②(ab)ca(bc) ③(ab)cacbc

（三）应用与提高

例2、（师生共同完成）已知a6,b4，a与b的夹角600，

求(a2b)(a3b)

例3、（学生独立完成）对任意向量a,b，是否有以下结论？

22222①(ab)a2abb；②(ab)(ab)ab

a例4、（师生共同完成）已知a3,b4,且与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直？

(四)巩固练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①若a0，则对任一非零向量b，有ab0；

②若a0，abac，则bc．

2、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当ab0或ab0时，试判断

△ABC的形状。

六、小结：

1、平面向量的数量积及其几何意义；

2、平面向量数量积的性质和运算律

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在

探究过程中，渗透了哪些数学思想？

七、布置作业：

1、课本P108习题2.4 A组1、2、3 2、已知a6,b4，ab542，求a与b的夹角．

八、教学反思：

因学生的抽象思维、运算能力比较薄弱，数形结合的能力较差，ab本节课的内容未能在一节课里完成，例4及公式cos的应用放ab到下一节课。另外，学生对“一个向量在另一个向量方向上的射影”理解还不到位，下节课还要结合图形做有关这个知识点的练习。