2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案整理

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教案

云南师大实验中学

顾德荣

教学目标：①掌握平面向量的正交分解及坐标表示；

②清楚向量与坐标之间的一一对应关系；

学***面向量坐标的定义；

学***面向量坐标表示生成的过程。

复习回顾：

1.什么是平面向量基本定理？

如果e1,e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2，把这个定理叫做平面向理的基本定理. 说明：e1,e2不共线，为本面内所有向量的一组基底；1,2是唯一的. 2.什么是向量的夹角？夹角的范围是多少？夹角为多少度时两向量垂直？

已知两个非零向量a和b，作O则AOB(0180)叫做向量a与b的AaOB,b，夹角；当0时，a与b同向，当180时, a与b反向，当夹角是90时，我们说a与b垂直，记作ab.

新课讲解：

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解

。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2

a2,使

a

=λ1a1

+ λ2

a2

1

若两个不共线向量互相垂直时

1.平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

思考：如图，在直角坐标系中，

已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设OAi,OBj，填空：

（1）i_____,|j|______,|OC|______;

（2）用i,j来表示向量OC,OD

OC________,OD_________.

（3）向量CD能否由i,j表示出来？可以的话，如何表示？

2.平面向量的坐标表示

如图，i,j是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，

若以i,j为基底，则对于该平面内的任一向量a，

有且只有一对实数x、y，可使

axiyj

这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，

我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

①

其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示. 特殊向量的坐标表示：i

j=

0

2

概念理解：

（1）相等的向量坐标相同

（2）以原点O为起点作OAa，点A的位置由谁确定? （3）点A的坐标与向量a的坐标的关系？

向量OA与A（x

，y）一一对应

3.典例讲练(每题由学生先独思考完成，再进行讲解、点拨) 例1：如图，分别用基底i,j表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标. 析：由图可知a=2i+3j，a=(2,3)

同理可求了其它三个向量。

除此之外，还可以从对称性的角度来进行分析求解。

例2，已知i,j是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，AB2i3j,BC5i4j,

求AC向量的坐标. 析：ACABBC,把AC表示成1i2j的形式，由向量坐标定义可知AC向时的坐标.

例3，已知AB(2,0),a(x3,x3y4)，若

aAB,求实数y的值.

析：根据向量相等可知a与AB的对应坐标相同.

例4，设i,j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，

ai(2m1)j,b2imj(mR),已知

a//b,求向量a,b的坐标. 析：先利用共线向量的有关原理，求出m的值，再由向量的坐标定义写出a,b的坐标.

3

例5：如图，在三角形ABC中，点A、C在x轴上，AB4,BAC30,求向量AB的坐标.

析：过点B作BD垂直x轴，垂足为D，则在Rt△ADB中，ADABcos304cos3023,

BDABsin302，ABADDB23i2j,所以AB(23,2)

小结：通过本节课的学习，你学到了什么？掌握了什么？体验到了什么？

1.向量的坐标的概念:

axiyj(x,y)

2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标；(2)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的正交分解是平面向量基本定理的特例，是向量坐标表示的基础.

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