阅读与思考 生产过程中的质量控制图优质课教案整理

大城县教育局教研室2013年教学课件评选

第九章

算法初步、统计与统计案例

第三节

用样本估计总体

作者：李胜红

课时：一课时

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第三节

用样本估计总体

教学目标：

1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．

2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．

3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．

4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．

教学过程：

一、情境导入：鱼都养了半年了，大约多重了？

（趣答：）都捞出来称称不就行了！

（解决方案：）从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量，通过计算这100条鱼的平均重量，估计该鱼塘中鱼的总体情况。

（再问）：我的鱼塘大约有多少条鱼呢？

（趣答：）都捞出来数数不就行了！

（解决方案：）从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，做上标记，放回鱼塘。过一段时间，再从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，统计做有标记的鱼的条数，利用比例关系，估计该鱼塘中鱼的总数。

二、讲授新课

（阐述本节课的目的与应用）一、频率分布直方图

2

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中

最大值

与

最小值

的差。) (2)决定

组距

与

组数

．

(3)将数据

分组

．

(4)列

频率分布表

．

(5)画

频率分布直方图

．

例1、某市

2012年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45. (1)完成频率分布表；

(2)作出频率分布直方图；

(3)根据国家标准，污染指数在

0～50之间时，空气质量为优；在

51～100 之间时，为良；在

101～150 之间时，为轻微污染；在

151～200 之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．

解：（1）决定组距和组数：最大值103，最小值45，极差103-45=58.决定组距为10，组数为7；

（2）将数据分组，列出频率分布表：

(3)绘制频率分布直方图：

3

(4)评价该市的空气质量：

①该市一个月中空气污染指数有2天处于优，有26天处于良，优或良的天数共有28天，说明该市空气质量基本良好。

②轻微污染有

2 天，说明该市空气质量有待进一步改善。

注意：

(1)在频率分布直方图中纵坐标表示频率，频率=组距高度。

组距(2)频率分布表中频率的和为 1，故频率分布直方图中各长方形的面积和为1。

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。

练习1：某

中学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图．根据频率分布直方图推测，这 3 000名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________。

解析：由样本频率分布直方图知，数学考试

中成绩小于 60 分的频率为

(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，

∴估计总体中成绩小于60分的概率约为 0.2，

故所求成绩小于60分的学生数约为3000×0.2＝600 人．

3.应用：如何利用频率分布直方图估计样本的中位数、众数、平均数？

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以

4

估计中位数的值．

(2)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标．

(3)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

（解法1）计算平均数：

35×0.02+45×0.06+55×0.12+65×0.24+75×0.28+85×0.2+95×0.08 =0.7+2.7+6.6+15.6+21+17+7.6 =71.2 所以平均数为71.2 （太麻烦了！）能否有简单算法？

（解法2）借助端点求解

(30×0.02+40×0.06+50×0.12+60×0.24+70×0.28+80×0.2+90×0.08)+5 =0.6+2.4+6+14.4+19.6+16+7.2+5=71.2 所以平均数为71.2 或(40×0.02+50×0.06+60×0.12+70×0.24+80×0.28+90×0.2+100×0.08)-5=71.2 二、茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

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例2、某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：

甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩；

(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．

解：(1)两学生成绩的茎叶图如图所示：

(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排序，甲学生成绩的中位数为乙学生成绩的中位数为532536534。

2538536537，

2（解法1）计算平均数：

甲学生成绩的平均分为：（512 +554+ 528+ 549+ 536+ 556+ 534+ 541+ 522+ 538）÷10=537 乙学生成绩的平均分为：（515 +558 +521 +543 +532 +559 +536+ 548 +527 +531）÷10=537 （解法2）借助基础数来计算：

甲学生成绩的平均分为：500+（12 +54+ 28+ 49+ 36+ 56+34+ 41+ 22+ 38）÷10=500+37=537 乙学生成绩的平均分为：500+（15 +58 +21 +43 +32 +59 +36+ 48 +27 +31）÷10=500+37=537 （解法3）猜测平均数作为基础数来计算：

甲学生成绩的平均分为：530+（-18 +24-2+ 19+ 6+ 26+4+ 11-8+ 8）÷10=530+70÷10=537 乙学生成绩的平均分为：530+（-15 +28 -9 +13 +2 +29 +6+18 -3 +1）÷10=530+70÷10=537 注意：1．作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图．

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2．作样本的茎叶图一般对称作图，数据排列由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．

3．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都非常方便．

三、标准差和方差

1、在一组数据中，众数，中位数，平均数多指什么？

众

数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

平均数：

x1x2xnxn2、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．

标准差：

3、方差：

例3、以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示．

(1)如果 X＝8，求乙组同学植树棵数的众数、平均数和方差；

(2)如果 X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．

解： (1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是 8，8，9，10. 众数：8 平均数：x



方差

21352352889103544353511s[(8)(8)(9)2(10)2]4444416 (2)记甲组四名同学为 9，9，11，11；乙组四名同学为 8，9，9，10；甲、乙两组的两名11111p同学的植树总棵数为 19 的情况有： 9+10 ， 11+8，所以 。

24244

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四、从样本的数字特征估计总体的数字特征

例4、某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成

n 小块地，在总共

2n 小块地中，随机选

n 小块地种植品种甲，另外

n 小块地种植品种乙．

(1)假设

n＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

(2)试验时每大块地分成

8 小块，即

n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2) 如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

2C21(1)P(A)2C46

解：

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为

1

x甲(403397390404388400412406)400

8

s2甲1(32(3)210242(12)212262)57.258

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为

1

x乙(419403412418408423400413)4128

12

2222222

s乙(7(9)6(4)11121)568

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。

注意：

1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐述，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择．

2．样本平均数反映了数据的中心，是平均水平，而样本方差和标准差反映的是数据的稳定程度，进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式．

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练习2：某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米)有关．据统计，当 X＝70 时，Y＝460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160. (1)完成如下的频率分布表：

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的

发

电

量

低

于 490( 万

千

瓦

时 ) 或

超

过530(万千瓦时)的概率。

解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有 7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490( 万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为0.3. 从近两年高考看，用样本估计总体能较好地考查数学应用意识，是高考的热点之一，主要考查频率分布直方图、茎叶图、用样本的数字特征估计总体数字特征，并出现统计与概率相结合的命题趋向，应引起足够重视．

古语有云：窥一斑而知全豹，谁能知道什么意思？(引导学生联系其他学科知识) 南朝宋·刘义庆《世说新语·方正》：“此郎亦管中窥豹，时见一斑。”

意思是虽然从

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管中只能看见豹身上的一块斑纹,但是可以推想出整个豹子身上花纹的样子，就是透过部分可以看出全部，这就是用样本估计总体的意思。

五、随堂练习

1．如图所示，两名射击运动员射击 10 靶的环数——频率分布图，已知两名运动员的平均成绩均为 x＝7，则两名运动员的方差 s2甲，s2乙的大小关系为（ ）。

2．有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5 ， 15.5) 2 [15.5 ， 19.5)4 [19.5 ， 23.5)9 [23.5 ， 27.5)18 [27.5 ， 31.5)11 [31.5 ，35.5) 12 [35.5 ， 39.5)7 [39.5 ， 43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5 ，43.5)的概率约是（ ）

3．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2＝________．

4．在如图

所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．

5．从某小学随机抽取

100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图．由图中数据可知

a＝________，若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取

18 人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．

10

6．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

(1)分别估计用

A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

(2)已知用

B 配方生产的一件产品的利润

y(单位：元)与其质量指标值

t 的关系式为

－2，t＜94，

y＝

2，94≤t＜102，



4，t≥102.估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润．

解:(1)由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.3.用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0，当且仅当其质量指标值 t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94 的频率为 0.96.所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于

0 的概率估计值为

0.96.用

B 配方生产的产品平均一件的利润为

1×[4×( －

2) ＋

54×2 ＋

42×4] ＝

2.68(元)．

100

六、作业

1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：

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(1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？

2．某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲、乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如图所示．

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由；

(2)现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率．

3．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图所示．

(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；

(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．

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