阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀教案内容

“平面向量的数量积”教学设计

万全区万全中学 刘海洋

教学目标

知识与技能: 1.

了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其几何意义

2.

体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握平面向量数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行简单的应用

过程与方法

1.

通过对平面向量数量积的学习及探索,不断培养学生自主学习,主动探索,善于反思,勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

2.

培养学生的运算能力，严谨的思维习惯以及解题的规范性。

情感、态度与价值观

1.

在学***面向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量的本质及它与生活和自然科学的联系，认识事物的统一性，并通过学***面向量的数量积感受数形结合的思想方法

2.

通过对平面向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度来体会向量之间的关系和作用。不断从感性认识提高到理性认识

重点：1平面向量的数量积的含义与几何意义

2.向量数量积的性质与运算律及其应用

难点：平面向量的数量积的几何意义 易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别．

教学过程设计：

思考问题：是否有两个向量的乘法运算呢？

设计意图：由教科书第103页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．

师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？

F

物体在力F的作用下做的功: W=│F│·│S│·COSθ

θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。

大家都知道,力是矢量,位移是矢量,功是标量．

我们今天上课的内容是：

板书：平面向量的数量积

板书：1．平面向量的数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

概念辨析：

与以往运算法则的区别及注意点

1 一种新的运算

2.“ · ”不能省略，也不能写成“×”

3.

思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负，什么时候为0？

板书：

3.

ab|a||b|cos注意下列关键点：

强调关键点：

1）．（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外；

2）．（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．

板书：

4. 异面直线所成角的定义

（幻灯片）：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线a’∥a，b’∥b，把a’与b’所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．

特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b．

教师与学生共同探讨，得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角．

注：异面直线所成角的范围(0°，90°]

例 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中． （1）

哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？

（2）

求棱AA1和BC所成角； （3）

求A1B和CC1所成的角。

（虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结论（按三维方向或三对面分类进行分析）．

解：

⑴由异面直线的定义可知，棱AD ， B₁C₁，DC ，D₁C₁

，CC₁

， DD₁所在的直线分别与直线BA₁是异面直线

⑵平行移动AA₁到BB₁，棱AA₁和BC所成角就转化成了BB₁和BC所成的角，是90°

⑶平行移动CC₁

到BB₁,A₁B和CC₁所成的角就转化成了A₁B和BB₁所成的角，是45°

在上题中，直线A1B和AC所成的角是多少？

60°

师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？

（虚拟互动）：由幻灯片闪烁AA1∥BB1，CC1∥BB1，再闪烁AA1∥CC1，由学生观察得到结论．

板书（幻灯片）：

公理4 平行于同一直线的两直线互相平行．

平行线的性质是具有传递性．

学以致用（1）：

例 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

（板书）：证明：连结BD，

∵ EH是△ABD的中位线，

∴ EH∥BD，且EH=1/2 BD，

同理，FG∥BD，且FG=1/2 BD，

∴ EH∥FG，且EH=FG，

∴ 四边形EFGH是平行四边形．

更上一层楼，变式探究：在上题中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？ 菱形

课堂小结

1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线

2.空间两直线的位置关系

3.异面直线的画法：平面衬托

4．异面角的求法：一作二证三计算。

5.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

课后练习：

1．

举出你生活环境中异面直线的实例两例；

2．

完成教科书第48页上练习；