2.5.2 向量在物理中的应用举例名师教学视频（文字实录）

§7

向量应用举例

学习目标：1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．

[自

主

预

习·探

新

知] 向量应用举例

(1)点到直线的距离公式

若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2(2)直线的法向量

①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．

②公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．

(3)向量的应用

向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．

思考：向量的数量积与功有什么联系？

提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．

[基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) →→(1)△ABC是直角三角形，则AB·BC＝0. →→(2)若AB∥CD，则直线AB与CD平行．

→→(3)向量AB，CD的夹角与直线AB，CD的夹角相等或互补．

(4)直线y＝kx＋b的一个法向量是(k，－1)．

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2．直线2x－y＋1＝0的一个法向量是(

) A．(2,1)

B．(－1，－2) 1/8 (

) (

) (

) (

)

C．(1,2)

D

D．(2，－1) →→3．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(

) A．(5,0)

C．5

C

4．点P0(－1,2)到直线l：2x＋y－10＝0的距离为________．

[答案]

25 5．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体作的功为________．

[答案]

4 [合

作

探

究·攻

重

难]

平面几何中的垂直问题

如图2-7-1所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

B．(－5,0) D．－5

图2-7-1 →→[证明]

法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. b→→→又DE＝DA＋AE＝－a＋2，

a→→→AF＝AB＋BF＝b＋2，

ab→→－a＋2

所以AF·DE＝b＋2·123b211＝－2a－4a·b＋2＝－2|a|2＋2|b|2＝0. →→故AF⊥DE，即AF⊥DE. 2/8

法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，→→D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)．

→→因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. →→所以AF⊥DE，即AF⊥DE. [规律方法]

利用向量解决垂直问题的方法和途径,方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. [跟踪训练] 1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．

[解]

如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．

设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，

→→从而可求：AC＝(－2a，a)，BD＝(a，－2a)，

→→a，－2a－4a2AC·BD－2a，a·→→不妨设AC、BD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝5a2→→5a·5a|AC||BD|4＝－5. 4故所求钝角的余弦值为－5.

向量在物理中的应用

一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．

[思路探究]

这是一个需要用向量知识解决的物理问题，因此，要用物理概念建立解题意向，使用向量形象描述，进而分析题意，创建数学模型，再利用解直角三角形的技巧把问题解决．

3/8

[解]

依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．

→如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD是平行四边形ABDC的对角线．

→→∵|AC|＝4米/秒，∠ACD＝30°，|AD|＝2米/秒，

∴∠ADC＝90°. →→在Rt△ADC中，|DC|＝|AC|cos 30°＝23(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为23米/秒．

[规律方法]

1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．

2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．

3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．

[跟踪训练] 2．某人在静水中游泳，速度为43 km/h. (1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？

→→[解]

(1)如图①，设人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为→→→邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC，根据勾股定理，→|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h. 4/8

→→(2)如图②，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA. →→→∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB－OA＝AB，

→→→在Rt△AOB中，|AB|＝43，|OA|＝4，|OB|＝42. 3∴cos∠BAO＝3，

3故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为3，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为42 km/h.

向量在解析几何中的应用

[探究问题] →1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|PM·n0|? →提示：如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝|NM|.在Rt△MPN→→→→→中，|NM|是PM在NM方向上的射影的绝对值，则|NM|＝||PM→→|cos∠PMN|＝||PM|×1×cos∠PMN|＝|PM|×|n0|×|cos∠PMN|＝→|PM·n0|，

→∴d＝|PM·n0|. 2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？

提示：关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．

已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及点A(1,1)，M是⊙C上的任意一点，→→点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

[思路探究]

要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．

5/8

[解]

设N(x，y)，M(x0，y0)，

→→由MA＝2AN，得

(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，

1－x0＝2x－1，∴

1－y0＝2y－1.x0＝3－2x，即代入⊙C方程，得

y＝3－2y，0(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，

即x2＋y2＝1. ∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1. 母题探究

将例3的条件变为“已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2,1)．”试求直线l的方程．

[解]

∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，

∴直线l的一个方向向量为ν＝(1,2)．

∴直线l的斜率为2. ∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)．

整理得2x－y－1＝0. 故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.

[规律方法]

向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质. [当

堂

达

标·固

双

基] →→1．已知△ABC，AB＝a，AC＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(

) A．钝角三角形

C．锐角三角形

A

6/8 B．直角三角形

D．不能确定

2．已知直线l：5x－y－7＝0，向量p＝(k＋1,2k－3)，且p∥v，则k的值为(向量v为l的方向向量)(

) 7A．3

16C．3

13B．6

8D．－3

8D

[l的方向向量v＝(1,5)，由v与p平行得：5(k＋1)＝2k－3.解得k＝－3.] 3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是________．

[解析]

设P(x，y)为圆上任一点，则

→→AP＝(x－1，y－2)，BP＝(x＋2，y－1)，

→→由AP·BP＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，

化简得x2＋y2＋x－3y＝0. [答案]

x2＋y2＋x－3y＝0 →→→4．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，－2)，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．

→→→→[解析]

BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD，

→→∵AB·BC＝(4，－2)·(3,6)＝0，

→→∴AB⊥BC，

→→∴四边形ABCD为矩形，|AB|＝20，|BC|＝45，

→→∴S＝|AB|·|BC|＝30. [答案]

30 5．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.

[解]

以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：

1→1→OD＝1，2，OE＝2，1，

7/8

→→OD·OE故cos∠DOE＝

→→|OD|·|OE|111×2＋2×14＝5. 552×2＝8/8