复习参考题名师课堂实录

第二章平面向量复习课

学习目标

1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用.

1向量的有关概念

1:什么叫向量？

2 :什么叫零向量？

3:什么叫单位向量？

4:什么叫平行向量（共线向量）？

5:什么叫相等向量？

2向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 向量运算

法则(或几何意义)

坐标运算

加法

a＋b＝____________

向量的线性运算

减法

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a数乘

的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0

a－b＝____________ λa＝________ 向量的数量积运算

a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与1 a·b＝________

b在a方向上的投影的积

3两个定理

(1)平面向量基本定理

①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝____________. ②基底：把____________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底. (2)向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________. 4.向量的平行与垂直

a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a∥b

a⊥b

有唯一实数λ使得________________

x1y2－x2y1＝0

类型一

向量的线性运算

→1→例1

如图所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，

3→→2→若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________. 11

反思与感悟

向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题. →跟踪训练1

在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得BD1→2→＝BC＋BE，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.

33

类型二

向量的数量积运算

例2

已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0).

2

(1)用k表示数量积a·b；

(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.

→→→跟踪训练2

已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－(3＋m)). (1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.

类型三

向量坐标法在平面几何中的应用

例3

已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.

3

反思与感悟

把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 跟踪训练3

如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB上，且∠COB＝30°，→→→若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于(

)

A.3

43C.

3B.3

3D.23

→→1.在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA·AB等于(

) A.2

→C.|AB|cos A

B.－2 D.与菱形的边长有关

→→→→→→2.设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，→→则AM·NM等于(

) A.20

C.9

B.15

D.6 3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(

) 1A.

21C.－

2B.2

D.－2 →→→→→→4.若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________. 135.平面向量a＝(3，－1)，b＝，，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，22y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).

1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两

4

种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.

5

答案精析

知识梳理

1.既有大小又有方向的量

长度（模）为零的向量

长度等于一个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

长度相等且方向相同的向量

2三角形

平行四边形

(x1＋x2，y1＋y2)

三角形

(x1－x2，y1－y2)

相同

相反

(λx1，λy1)

x1x2＋y1y2

3.(1)①不共线

任意

有且只有一对

λ1e1＋λ2e2

②不共线

所有

(2)b＝λa

4.b＝λa(a≠0)

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0 题型探究

例1

3

11→1→2→跟踪训练1

解

假设存在D点，使得BD＝BC＋BE. 33→1→2→1→2→→→2→BD＝BC＋BE＝BC＋(BC＋CE)＝BC＋CE

33333→→2→⇒BD－BC＝CE

3→2→21→→1→CA⇒CD＝CA. ⇒CD＝CE＝×3323→1→→1→2→CD＝CA时，BD＝BC＋BE. 所以当点D为AC的三等分点333例2

解

(1)由|ka＋b|＝3|a－kb|，

得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，

∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，

∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，

2k2＋2k2＋1∴a·b＝＝. 8k4kk2＋111(2)a·b＝＝(k＋). 4k4k11由函数的单调性可知，f(k)＝(k＋)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，

4k11∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，

42此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝

a·b1＝，∴θ＝60°. |a||b|26

1跟踪训练2

(1)m≠

27(2)m＝

4例3

解

建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则→→→→B(－c,0)，OA＝(0，a)，BA＝(c，a)，OC＝(c,0)，BC＝(2c,0). 因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，

3ca1→→→所以BB′＝(BC＋BA)＝2，2，

23ca→－，. 同理CC′＝22→→→→因为BB′⊥CC′，所以BB′·CC′＝0，

9c2a2即－＋＝0，化简得a2＝9c2，

44→→2222AB·ACa－c9c－c4又因为cos A＝＝＝＝. →→a2＋c29c2＋c25|AB||AC|4即顶角A的余弦值为. 5跟踪训练3

A 当堂训练

1.B

2.C

3.D

4.25 15.k＝f(t)＝(t3－3t) 4

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