探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师课堂实录

学校：通州区运河中学

授课年级：高

一

课题：1.5函数yAsin(x)的图象（授课教师：马淑杰

1）

课题

1.5函数yAsin(x)的图象（1）

本节选自人教A版数学必修4，内容是通过图象变换，揭示参数A、、变化时对函数图象的形状和位置的影响，并由此揭示出函数y＝Asin(x+教材

分析

)的图象与正弦曲线的关系，以及参数A、、的物理意义，并通过图象变换过程，进一步理解正、余弦函数的性质. 它是研究函数图象变换的一个延伸，也是三角函数性质的一个直观体现．本节内容是本章的一个难点，计划安排2课时的教学，本节课是第一课时.

1.在教师的引导下，借助于工具软件通过画图并观察函数图象，探究参数A、并进一步理解图象变换的数学、变化时对函数图象的形状和位置的影响，本质，渗透数形结合思想. 2.通过分别探究参数A、、变化时对函数y = Asin(x+)(A>0，>0)教学

目标

图象影响的过程渗透将复杂问题分解为单一问题的研究方法，培养抓主要矛盾解决问题的思想. 3.通过给参数A、、赋值，体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法，通过对规律的探究、归纳和概括等过程提升数学抽象的核心素养. 4.在探究问题的过程中培养独立思考问题的能力与合作意识，在问题研究不断渗入的过程中，通过师生、生生间的交流、互动，激发学习兴趣和求知欲望.

教学

重点

教学

难点

用参数思想逐步讨论A、、变化时对函数图象的形状和位置的影响.

参数对函数y = Asin(x+)图象的影响规律的探究和概括. 从知识角度来讲，本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(x+)的图象与正弦曲线的关系.通学情

分析

过必修1中函数一章的学习，学生基本掌握了一般函数图象的平移变换、对称变换等简单的函数图象变换方法，但是对于周期变换还是第一次接触并加以研究，所以周期变换必将成为学生研究的难点. 从认知心理角度来讲，学生对于运用函数图象这一手段研究问题，特别是借助于画图软件，通过自己画图和小组内合作探究图象间的关系应该比较感兴趣，但是实际操作能力和观察探究能力以及概括能力还有待于进一步提高.

教师启发下学生自主探究与小组合作探究相结合的教学方式

平板电脑、PPT课件和学案

教学

方式

技术

准备

探究对y=sin(x+)

, x∈R的图象的影响

教学基本流程

探究(＞0）对y=sin(x+)图象的影响

探究A(A＞0）对y=Asin(x+)图象的影响

教学过程

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

通过实例引入学习内容激发学生的学习兴趣；通过类比正弦曲线寻找知识的“固着点”提出解决问题的方法.

培养观察能力；提升应用数形结合思想解决问题的能力.

渗透将复杂问题分解为单一问题来研究问题的方法. 创设

情境

引入

新课

在物理中交流电的电流y与时间x的关系

是形如y＝Asin(x+)的函数.下图是某次试

验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象

放大后的一部分.

倾听老师的0

语言，观察图

象，思考两种

函数图象间

的关系.

0

00

可以看出它和正弦曲线很相似.

那么函数y = Asin(x+)(A>0，>0)图

象与正弦曲线有什么关系呢？

通过观察、思从解析式来看y = sinx就是函数y = 考明确两个函数解析式Asin(x+)当A=1，=1，=0时的情况. 的关系，寻求问题的突破显然我们只要弄清楚A、、的取值对口. 函数图象的影响就能够知道二者之间的关系

了，这节课我们就来一起探究A、、对函

数y = Asin(x+)图象的影响.

那么我们从何入手来解决问题呢？

思考

我们不妨先来逐一研究三个参数对函数图象的影响. x

先猜想结论，影响

然后在老师

的引导下借先引导学生猜想一下结论，并说明猜想的助于画图软理由.再引导学生利用画图软件画出同一坐标件作图，观察图象之间的系中正弦曲线和y=sin(x+)的图象，观察它们关系来验证3猜想，小组内活动一 的关系，验证自己猜想.

交流观点. 追问学生；这种图象平移变换的本质是什

么？你能借助于所画的图象解释清楚吗？

独立思考；组内交流表达结论：一般地，函数y=sin(x+), x∈R

(其中观点. ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向

左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移理解、记忆

（一）探究对y=sin(x+)

, x∈R的图象的动｜｜个单位长度而得到（平移变换）

（二）探究(＞0）对y=sin(x+)图象的影了解取定响

为了研究方便，不妨取定，此时给3取不同的值，引导学生作出它们在同一坐标系中的图象，观察它们之间的关系. 1.分小组探究，每小组完成下面一组函数图象的作图和图象变换的探究.

ysin(x（1）活动二

3)与ysin(2x)与ysin(3x)与ysin(x)与ysin(x)与ysin(4x13123)

)

)

ysin(x（2）ysin(x（3）（4）ysin(x333333)

（5）ysin(x33)

教师巡视并适时指导. 值，单一研究不同取值对函数图象的影响

先独立借助于工具软件作图，观察图象之间的关系，有自己的想法后小组内交流观点.

考虑到学生已经学习过一般函数的平移变换（左加右减），所以先引导学生猜想结论，并通过追问理由引导学生运用从一般到特殊的思想，提高数学推理能力.

理解图象变换的本质是点的变换.

教师板书

进一步渗透将复杂问题分解为单一问题，培养抓主要矛盾解决问题的思维方法.

这是学生最不容易归纳的一种变换，通过独立思考到小组合作研究、交流，培养学生的合作意识；通过对结论的提炼和归纳培养抽象概括能力，提升数学核心素养.

2.在小组内交流想法统一观点，全班范围内进行交讨论. 3.教学预案：

（1）如果学生们能够归纳出正确的结论，老师要追问他们是如何得到规律的，从而再一次强化理解图象变换的本质是点的坐标变换. （2）如果学生们不能够归纳出正确的结论，教师可以引导学生通过观察点的坐标变化来研究图象的变换规律.

交流讨论

用点的变换规律来研究图象的变换规律.

结论：函数y=sin(x+)的图象可以看作是把

函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短理解、记忆

(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的（纵坐标不变）得到的.（周期变换）

（三）探究A(A＞0）对y=Asin(x+)图象的影响

根据前面的研究经验我们如何研究A的取值对函数图象的影响呢？

在学生们独立思考的基础上先引导他们交流自己想要实施的研究方法，在生生、师生交流达成一致的基础上，再通过自主取值开展研究.

教学预案：如果学生还没有形成通过取定和思考问题，尝试取定、的值单一改变值A，借助于工具软件作图，观察图象之间的关系，来研究问题.

观察、理解

理解、记忆

1倍

通过观察理解这种图象变换的数学本质.

通过归纳概括一般结论培养学生数学抽象的核心素养和数学语言表达能力. 的值，单一研究A取值对图象影响的研究方活动三

法，教师要再一次引导学生采取抓住要矛盾解决问题的方法.不妨取2，.此时给A3取不同的值，引导学生作出它们在同一坐标系中的图象，观察它们之间的关系.

结论：函数y=Asin(x+)图象可以看作是由y=sin(x+)图象上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

引导学生自己尝试将复杂问题分解为单一问题，抓主要矛盾解决问题的方式方法.

数形结合思想的应用.

进一步巩固通过研究点的变换来归纳图象变换；

提升学生的抽象概括能力和数学语言的表达能力. 得出一般结论.

小结

提升

引导学生自主反思、小结本节课的收获. 教学预案：如果学生归纳不到位教师可以在以下方面进行补充：

1.知识方面：三种函数图象变换的规律

2.对图象变换的本质理解：

函数图象的变换

函数图象上点的坐标变换

函数解析式的变化

充分体现数形结合思想的应用

3.抓主要矛盾研究问题的方法. 1.在学案上完成下列题目

（1）函数y=sinx的图象经过怎样的变换才能够

思考后交流培养良好的想法

总结提升的能力和习惯. )的图象，写出变换步骤. 作业

(整合

提升) （2）归纳出函数y=Asin(x+)

（A＞0，得到y=3sin(2x+3

课后完成

＞0）的图象是由正弦曲线经过怎样的变换得课后

反思

到的.

2.尝试完成教材第55页2.3.4题. 1．本节课的教学比较好的达成了教学目标，学生在老师的引导下利用PAD借助于Desmos画图软件通过独立观察归纳探究和小组合作探究等方式分别就三个参数对函数图像的影响规律进行了归纳概括，在探究过程中充分体会了从特殊到一般的数学思想，积累了数学基本活动经验，在获得图象变换规律的同时进一步巩固了三角函数的性质. 2．参数对函数图象影响规律的探究、归纳是本节课的难点，为突破这一难点，教学中将全班学生分成5组，每组学生共同探究归纳一组具体函数（2个）图象之间的关系。每名学生先通过独立画图、归纳再到组内讨论交流达成共识，最后在老师的引导下五个组的同学将一般性规律归纳出来，教学目标达成度较高。

3．在本节课的教学过程中还有一些特殊情况出现使得教学更加精彩，比如：在研究参数对函数图象影响的过程中一名学生错将函数写成：培养学生借助于书籍和网络等检索知识自主学习的能力. 通过练习巩固基础知识. ysin(x3)与ysin(x133)虽然函数和老师要求的不一致，但是这并不影响规律的探究，再比如：研究参数A对图象影响时，一名学生设置了连续变化的参数（出乎老师的意料），通过动态演示让同学们更直观的体会了参数对函数图象的影响规律。