2.3.1 变量之间的相关关系教学设计模板

第二章

统计

2.3 变量间的相关关系

学校：同心豫海回民中学 学科：数学 编写人：马晓庆

一．教学目标

1.知识与技能：理解变量间的相关关系，能够根据数据绘制散点图，理解正相关和负相关的概念，会利用最小二乘法求出回归方程。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法，培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3.情感态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程进行分析和预测的意识，体会研究此类问题在现实生活中的重要性。

二．教学重、难点：

重点：利用散点图直观认识两个变量的线性关系，用最小二乘法计算线性回归方程。

难点: 利用最小二乘法计算线性回归方程。

三．教法、学法、课前准备

教法分析：

1.采用“问答探究”式的教学方法，层层深入。

2.发挥教师的主导作用，让学生成为教学活动的主体。

学法分析：

从贴近实际生活的例子中理解相关关系的概念，并理解与函数关系的区别，绘制散点图并由散点图直观的认识正相关、负相关的概念，

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特别注意最小二乘法中各个符号的含义，体会这一方法对于实际生活的意义。

课前准备：打开多媒体，让学生准备好直尺

四．教学过程：

【新课导入】

思考:我们以前有没有学过描述变量间的关系的工具呢？

函数关系：圆的面积与半径的关系：sr2。正方体的体积与棱长的关系：Va3，y3x2。

两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系。

（1）生活中，施肥量与农作物产量之间的关系：一般来说，施肥量越多，农作物产量越高，施肥量越少，农作物产量越低。但农作物的产量还要受到土壤质量，降雨量，田间管理水平等多方面因素的影响。

（2）学生的数学成绩与物理成绩的关系，一般来说，数学成绩越高，物理成绩也相对越高，数学成绩越低，物理成绩相对越低，但数学成绩不能完全决定物理成绩。物理成绩的好坏还与学生是否喜欢物理，用在物理上的学习时间等因素有关系。

像这种两个变量之间相关，但这种关系又不能用函数关系精确的表达出来，这样的两个变量之间的关系应当被称作是什么关系呢？

【新课讲授】

1.相关关系的定义：当自变量的取值一定时，因变量的取值带有一定

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的随机性，两个变量之间的关系称为相关关系。

相关关系是一种不确定关系。

相关关系---当自变量取值一定,因变量的取值带有一定的随机性.（

非确定性关系)

函数关系---函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的. （

确定性关系) 练习1：下列变量之间的关系，那些属于相关关系？哪些属于函数关系？

①

球的体积与该球的半径; ②

价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系; ③

家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势; ④

正方形面积和它的边长之间的关系; ⑤

小麦的亩产量与光照. 解：相关关系：③、⑤. 函数关系：①、②、④. 2.正相关与负相关：

豫海中学里一个小卖部，经营者为了研究气温对冷饮和热饮销售的影响，经过统计，得到了卖出的冷饮杯数和热饮杯数与当天气温的对比表：

表1 气温x 冷饮杯数y 8 1 12 3 13 7 17 8 20 12 21 12 24 14 思考：冷饮杯数随着气温的升高有什么变化？能否利用图形来直观的

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展示这一变化？

绘出散点图：

热饮杯数y201510500102030气温x

从左下角到右上角的分布，两个变量的相关关系叫做正相关.

表2 气温x 热饮杯数y 7 15 11 13 14 10 18 8 20 6 22 5 25 1 思考：热饮杯数随着气温的升高有什么变化？能否绘制散点图？

绘出散点图：

热饮杯数y201510500102030气温x

从左上角到右下角的分布，两个变量的相关关系叫做负相关.

10)，得散点图（1）,练习2.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i1,2,...,10)，得散点图（2）.由这两个散对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i1,2,...,

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点图可以判断（

）

A.变量x与y正相关，u与v正相关

B. 变量x与y正相关，u与v正相关

C. 变量x与y正相关，u与v正相关

D. 变量x与y正相关，u与v正相关

答案：选C。

3.变量间的线性相关

16141210864200102030

冷饮杯数y气温x

20热饮杯数y151050051015202530气温x

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参照热饮、冷饮的例子，如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致分布在一条直线附近，我们称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

注：a.要保证散点尽可能的离回归直线近一些

b.回归直线可以过几个散点，也可以一个散点都不过

4.最小二乘法求回归直线方程（简称回归方程）

ˆ最小二乘法：bxyii1n2i1ninxy

xinx2

ˆxˆybaˆxaˆbˆ

回归方程为

y例1.某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如下：

x y 3 4 5 6 2 3 8 9 9 12 12 14 ˆxaˆbˆ. 试求进价x与售价y（单位：元）的线性回归方程y解：n6

x63528912463912146.5，y8

662xi3252228892122327

i16xyii1i345623899121214396

ˆ39666.581.14

b32766.52ˆ81.146.50.59

a

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回归方程为

y1.14x0.59

练习3.某设备的使用年限x和所支出的维修费用为y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x 维修费用y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由资料知y对x成线性相关关系，试求：

ˆxaˆbˆ；

（1）

线性回归方程y（2）

估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

（3）

判断变量x与y之间是正相关还是负相关？

解：（1）n5

x5234562.23.85.56.57.04，y5

552xi223242526290

i15xyii1i22.233.845.556.567.0112.3

ˆ112.35451.23

b90542ˆ51.2340.08

a回归方程为

y1.23x0.08. ˆ1.23100.0812.38

（2）当x10，y估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. （3）因为1.23>0，所以是正相关. 注：本练习中需要向学生强调：

①最小二乘法中n、xiyi、xi2的含义；

i1i1nn

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②算出的维修费用是估计值而不是精确值，所以在答的时候一定要加上“估计”二字；

③在线性回归方程中，如果x的系数是正数，就是正相关，如果x的系数是负数，就是负相关.

五．小结

（1）相关关系的概念

（2）正相关：从左下角到右上角的分布

负相关：从左上角到右下角的分布

（3）线性相关、回归直线的定义

ˆ（4）最小二乘法：bxyii1nninxy

nx2xi12iˆxˆyba

ˆxaˆbˆ

回归方程为

y六．作业布置：优化设计随堂练习3、5. 七．板书设计：

一、相关关系

练习3

多媒体设备

二、散点图

八．教学反思：

8 三、线性相关、回归直线方程和最小二乘法

1. 本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类。

2.变量之间的关系是人们感兴趣的问题.通过思考栏目“施肥量与农作物产量之间的关系”、“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性。

3.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生认识散点图，并了解正相关和负相关，体现了数形结合的思想方法。用最小二乘法求线性回归方程，解决实际问题,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并强调学生可能犯的错误。 4.注意相关关系与函数关系的区别，在作散点图时，引导学生注意“散点图”就是由一些分散的点构成的，强调千万不要把这些点连起来。在用最小二乘法求回归方程时，强调公式中各个符号的含义，这是本节的重点也是难点。

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