2.3.1 变量之间的相关关系教学活动设计方案

2.3.1 变量之间的相关关系 高中数学 人教版2003课标版 教学目标

1.通过收集现实问题中有关联变量的数据，认识变量之间的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。

2.知道最小二乘法的含义，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程。

3.学会用数学的有关变量来描述现实关系。

学情分析：

通过小学和初中阶段的学习，学生已经具备了简单的收集、整理、描述和分析数据等统计的思想和方法。本节知识易于操作，难于理解，学生能够很好地掌握各种数据的计算，但难于理解期中蕴含的统计思想，不能自觉地形成统计观和概率思维。因此，本节课通过使学生理解变量之间的相关关系，体会统计所蕴含的丰富思想。

重点：直观认识两个变量之间的相关关系，线性回归直线方程的求解

难点：变量之间相关关系的理解，最小二乘法思想的理解

教学过程 一、情景引出

“明师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高，教师的水平与学生的水平有什么关系？按照这种说法，似乎学生的水平与教师的水平之间存在着一定的相关关系. 这种说法有根据吗？

根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的学***和老师的水平存在某种关系。（似乎就是老师水平高的，学生水平也高；学生水平低的，老师水平也低，但又不全对。）

教师总结：教师水平和学生水平是两个变量，教师水平的高低对学生水平的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素影响学生水平。因此，不能通过一个人学***的高低就准确地断定他的教师的水平的高低。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。当我们主要考虑教师水平对学生水平的影响时，就是考察这两者之间的相关关系。

二、相关关系的概念

教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？”

学生甲：粮食产量与施肥用量的关系；

学生乙：人的体重与食肉数量的关系。

……

从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系）或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。

相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系. 小结：两个变量之间的关系

①

函数关系：当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定；

例如：正方形面积 S 与其边长 x 之间的函数关系，对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面积的值与之对应.（确定关系）

②

相关关系：当自变量取值一定时，因变量取值带有一定随机性；

例如:一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有随机性. （不确定关系）

说明：（1）相关关系与函数关系的异同点：

相同点：均是指两个变量的关系

不同点：函数关系是一种确定的关系；

而相关关系是一种非确定关系；

（2）函数关系与相关关系之间有着密切联系：在一定的条件下可以相互转化. 相关关系的类型：相关关系可分为线性相关，非线性相关两类. 两个变量的相关关系辨析

练习1 探究下面变量间的关系：

1 .球的体积与该球的半径；（函数关系）

2 .粮食的产量与施肥量；

（相关关系）

3 .小麦的亩产量与光照

；

（相关关系）

4 .匀速行驶车辆的行驶距离与时间；（函数关系）

5 .角α与它的正切值。

（函数关系）

练习2 下列变量之间的关系不是相关关系的是（

）

A .二次函数y=a

中， a ， c 是已知常数，取 b 为自变量，因变量是判别式

B .光照时间和果树亩产量

C .降雪量和交通事故发生率

D .每亩田施肥量和粮食亩产量

练习3 下列两变量中具有相关关系的是（

）

A .角度和它的余弦值

B .正方形的边长和面积

C .成人的身高和视力

D .身高和体重

三、散点图

思考：如何判断两个变量是否具有相关关系呢？

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：人体的脂肪百分比和年龄如下：

观察：你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？

将样本中 n 个数据点描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.

通过散点图可发现，年龄越大，体内脂肪含量越高。

点散布在从左下角到右上角的区域，称它们为正相关。

四、正负相关关系

如果散点图的点散布在从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称为正相关. 如果散点图的点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们称为负相关. 正负相关关系辨析

练习1：下列关系属于负相关关系的是（

C

）

父母的身高与子女的身高

农作物产量与施肥的关系

吸烟与健康的关系

数学成绩与物理成绩的关系

练习2：

观察下列散点图，①正相关，②负相关，③不相关.与下列图形相对应的是（ D ）

练习3：如下图所示，表示两个变量不具有相关关系的有（

①④）

分析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言， x ， y 不具有相关关系. 五、线性相关关系和回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 总结：

（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．

（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系. （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系 .

散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系. 回归直线的定义及特征

如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有相关关系的代表. 求回归直线方程的方法

那么如何求回归直线方程呢？人们在思考这个问题的时候，常用以下3种方法：

1.采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。

2.在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。

3.在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。

上面的这些方法虽然有一定的道理，但总让人感觉到可靠性不强。统计学中，科学家们经过研究后得出了如下方法：求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”。

设已经得到具有线性相关关系的一组数据：（

）

，所要求的回归直线方程为：

，其中，

是待定的系数。当系数取

时，可以得到回归方程。

这种使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法.

五

练习

（1）

公式法求回归直线方程

（2）

根据两组变量的平均数求回归直线方程