小结教学设计模板

平面向量小结

教学目标

通过复习梳理本章内容，以达到熟练掌握与灵活应用。

教学重点

本章知识的梳理。

教学难点

向量的综合运用。

教学过程

一、知识梳理

【基本概念】

向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量。

（注意：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。）

②零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，

（0与任意向量平行）

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

（与任意非零向量a共线的单位向量a）

a④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

（包含平面几何中的平行、共线两种情况）

特别地：零向量与任意向量平行（共线）

⑤相等向量：方向相同且长度相等的向量

【基本定理】

①两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得ba

②推论：若O是平面中异于A、B、C的三代，则A、B、C共线

存在实数t，使得OAtOB(1t)OC

③平面向量基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1，2使得ae1e2，其中不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向12量的一组基底。

【基本运算】

向量加法的“三角形法则”与

“平行四边形法则”

BCO

向量加法：

设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

A（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

(３)向量加法的多边形法则：ABBCCDPQQRAR，

“首尾相连”，则和向量从起点指向终点．

向量的减法：

①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差。

实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，

它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，

a的方向与a的方向相同；

0时，

a的方向与a的方向相反；

当0时，a0，方向是任意的

OBAOBA当两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，

则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0

向量的投影：︱b︱cos=影的绝对值称为射影

ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投|a|B数量积的几何意义：

a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

OA向量的模：aa2

向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=则∠AOB=a, OB=b, 

（001800）叫做向量a与b的夹角cos=

abcosa,b

ab平面向量数量积的性质

设a,b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：

①eaaeacos

②abab0

③当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab，

特别地，aaaa。

22④cosab

⑤abab

ab平面向量数量积的运算律

①交换律成立：abba

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0 ④但是乘法公式成立：

ababa2②对实数的结合律成立：abababR

bab；aba2abba2abb；

22222222平面向量数量积的运算律

①交换律成立：abba

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

②对实数的结合律成立：abababR



（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0 ④但是乘法公式成立：

abababab；aba2abba2abb；

222222222【坐标运算】

平面向量的坐标运算

(1)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)若ax1,y1,bx2,y2,b0，则a//bx1y2x2y10

(5)若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

(6)若ab，则x1x2y1y20

(７)若a=(x,y)，则ax2y2

(８)若axy1,y1,bx2,y2，cos==x1x21y2x2222

1y1x2y2

【常用结论】

①特殊的平行四边形的向量形式

平行四边形ABCD中

（1）若ABAD0, 则四边形ABCD为矩形

（2）若ABADABAD, 则四边形ABCD为矩形

（3）若ABAD, 则四边形ABCD为菱形

（4）若(ABAD)(ABAD)0, 则四边形ABCD为菱形

②三角形四“心”向量形式

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则（1）O为ABC的外心OA2OB2OC2

（2）O为ABC的重心OAOBOC0

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0

③定比分点的向量形式

设一直线上三点A,B,P满足APPB(1),O是平面内的一点，则

1OPOAOB11

二、例题讲解

例1：（１）设a,b是两个非零向量，下列叙述正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

若abab，则ab

ab，则abab

若abab，则存在实数，使得ba

若存在实数，使得ba，则abab

（２）ABC中，AB边上的高为CD，若CBa,CAb,

ab0,a1,b2则AD( ) A.ab B. ab C. ab D. 353544ab

5513132323（３）在平面直角坐标系中，点O(0,0), P(6,8)将向量OP绕点O按逆时针方向旋转3后得向量OQ, 4则点Q的坐标是

（４）如图，在矩形ABCD中, AB=2,BC=2，

点E为BC的中点，点F在边CD上。

若ABAF2,则AEBF

例２已知a(1,0),b(2,1). （1）求|a3b|；

（2）当k为何实数时，

kab与a3b平行，

平行时它们是同向还是反向？.

例3.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，

则|a＋b|等于(

)．

A．1 B.2 C.5 D.6

例4.如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．

例5.如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边

→→BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB＝a，AD＝b，

→用a，b表示AG＝________.