复习参考题优质课一等奖

高三数学（理科）第一轮复习学案19

3.4《正弦型函数yAsin(x)的图象与性质》

引入：（2分钟）

正弦型函数以其优美的曲线，丰富的性质，广泛的应用背景是高中数学最重要的函数之一，深得命题者青睐！下面我们就先图象后性质开始学习。

一、【教学目标】

序号

1 2 3 4 内容

五点法

图象变换

求函数解析式

目标

掌握

“五点法”作yAsin(x)图象，并观察“五点”特征

理解A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)

(A0,0)图象变换的作用

能够由正弦型函数的图象特征，求函数yAsin(x)的解析式

图象与性质综合题

探究函数yAsin(x)图象与性质的综合问题的解题方向

二、【典例剖析】（13分钟）

【考点1】用“五点法”与“变换法”作函数yAsin(x)

的图象

2例1.已知函数f(x)2sin(2x)

3

（1）用“五点法”作出函数f(x)一个周期内的简图；

y

Ox

【规律与总结】

1. 整体代换：令x0,2,,3,2，求x及y的值,得到 5个特征点. 22. 观察“五点”特征：

五点四分、起伏（单调），最值，对称.

（2）由y2sinx的图象变换到函数yf(x)的图象，完成下面两种方法. 方法1：y2sinx 方法2：y2sinx

【规律与总结】A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)

(A0,0)图象变换的作用：

yf(x)yAf(x)：图象上的点纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变；

yf(x)yf(x)：图象上的点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；

1[1]

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yf(x)yf(x)：图象向左(0)/右(0)平移个单位. 个单位. 2变式：（2017全国Ⅰ理T9）已知曲线C1：ycosx，C2：ysin(2x)，则下面结论的是（

）

3yf(x)yf(x)：图象向左(0)/右(0)平移A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线C2 π个单位长度，6π个单位长度，121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2122)sin(2x)cos(2x)，故选D. 36262法二：C1:ysin(x)sin(2x)C2:sin(2x)，故选D. 223【考点2】由正弦型函数图象的特征，求函数yAsin(x)的解析式（10分钟）



例2.

已知函数f(x)Asin(x)(A0,0，)的部分图象如图所示，

2y

求函数f(x)的解析式

法一：C2:ysin(2x法一：代点法

A2，2

2

3T2,T3.44

222T=，=.y2sinx, 33O

4

x

把点2,2代入得sin,. ,1y2sinx.233463对图象的使用若是代点这么简单，那真是暴殄天物！上面学习的五点法与平移法皆可使用. 法二：五点法

2y2sinx，点2,0为“五点法”的第3点，

327故22k,kZ.2k,k2时，.

333法三：平移法

2223,函数y2sinx图象向左平移可得f(x)图象，

y2sinx，2232322(x)x，故.

32333

【规律与总结】求的三种方法：

方程思想→代点法、五点作图→五点法、图象变换→平移法. [2]

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【考点3】函数yAsin(x)图象与性质的综合应用（18分钟）

例3. 若将函数f(x)3sin2x的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象. （1）求则函数g(x)的单调递减区间；（2）求函数g(x)图象的对称轴与对称中心. 解：（1）g(x)3sin32x6,令22k2x622k,kZ.

则3kx56k,可得增区间为：3k,56k,kZ.

（2）令2x62k,kZ,则对称轴为直线：x3k2,kZ.

令2x6k,kZ,则x12k2,kZ.故对称中心为12k2,0,kZ.

【规律与总结】

1. 整体代换：令xt,把问题转化回归为ysint来解决.

2. 函数f(x)Asin(x)图象的对称轴过函数的最值点，对称中心为函数的零点；

变式：已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示，

f(2)23,则f(0)=

.

法一：参照例3分别求出A、ω、φ，可得f(x)232cos(3x4),所以f(0)23.

法二：补形观察图象的五点，可得点(4,0)为图象对称中心，故f(0)f(2)23.

【规律与总结】

数的难点通过形的直观突破！数形结合思想，图象特征：对称、五点、单调、趋势

.

例4.（2012全国Ⅰ卷理T9）已知0，函数f(x)sin(x)在(42,)上单调递减，

则的取值范围是

. 【注意】此题为近年高考重点题型出现频率很高，请从多个角度用多种方法求解. 【法一】子区间法：

5f(x)的减区间为：2k2k,4），则2k52（4k2,（44,）

42k2,4k12,2k54k10,1k3即5

,k0,542882k2k

44所以1254. 评注：在单调性问题子区间法是常用的方法.

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【法二】变换图象：

)的图象进行横向的伸缩变换可得f(x)sin(x)的图象,要使得4455f(x)在(,)上保持单调递减，则点P(,f())在x的左侧，且点Q(,f())在x的244244如图把函数ysin(x4215右侧，故，所以. 2454评注：对于数学问题，我们总是力求从代数运算及几何直观两个方面来研究，希望获得更加全面深刻的认识.

【法三】运用导数

f(x)cos(x)，f(x)在(,)上单调递减，即f(x)0,对x,恒成立.242

12k4k2422,, 0,即cos(x)0,对x,恒成立.故43522k

2k424后面同解法一. 评注：淡化三角函数的特殊性而突出三角函数也是函数一般性来求解.

【规律与总结】

这类由yAsin(x)的单调性求参数逆向问题突破策略有：子区间法，图象法，导数法.

三、【课堂总结】知识体系，思想方法：（2分钟）

1. 知识结构：五点作图法、图象变换、由图象求解析式、图象与性质综合

2. 思想方法：整体代换、方程思想、以形助数

四、结束语：正弦函数

波澜起伏

以形助数

妙在五点！

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