构建知识体系公开课教案（教学设计）

《矩形中的折叠问题》教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容 人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》

(二)内容解析 在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。

(三)教学重点 熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。

二、目标和目标解析

（一）目标 新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。 过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.

情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。

（二）目标解析 1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。

2.让学生经历观察——猜想——验证——证明——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。

3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。

4.探究过程中引导学生自己去发现问题，解决问题，从而培养学生分析问题，解决问题的能力。

5.在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣。

三、教学问题诊断分析

（1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及矩形，对全等三角形、轴对称以及矩形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律。课堂教学中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。要尽量多地引导学生通过多种方法，合作探究，解决折叠

问题中具有代表性的问题。教师适时加以点拨，整理思路，总结规律。展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。教师要鼓励学生勇于展示，善于展示。要教会学生举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。要充分相信学生，多数题目学生可以当“老师”，完全可以讲明白，在不断学习中使数学能力得到提高。

四、教学支持条件分析

根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现，合作探究的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的探究活动，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．

五、【教学过程设计】

教学

教 学 内 容

程序

1、创设情景，引入新课

布置课前作业：

用一张矩形纸片，制作一件手工折纸作品.

创设生动活泼、贴近学生的问题情境，让学生主动参与，乐于探究，在不断观察、动手地学习过程中，激发学习动机和好奇心。同时让学

生在亲身动手体验中透过现象看本质：折叠

的实质就是轴对称变欣赏、赞美学生的作品，

我们同学的作品，是用矩形换

纸片，经过适当的裁剪和若干次的折叠得到，今天我们来学习矩形中的折叠问题. 设

计

说

明

创

设

情

景

2、师生互动,探究新知：

探究活动一: 如图所示，在矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E.

〖分析过程：〗

1.图中全等的图形有哪些？

探

究

新

知

学生初遇翻折问题，往往一片茫然，不知从何下手，究其原因是对由折叠产生的相等的线

段和相等的角这个条(由折叠就会出现全等，本题目的折叠特殊性，出现了件找的不好。另外，因为折叠而形成的图形两个全等的三角形.) 较抽象，需要一定的空

间想象能力，而这方面

能力是学生较欠缺的。2.图中相等的线段有哪些?相等的角有哪些? 通过两个活动的设计

降低折叠的难度，教会

学生解决折叠问题的(由全等三角形的性质得到对应边相等，对应角相等。方法。关注基础薄弱的由矩形的性质得到对边相等，对角相等。) 学生，给予鼓励和信

心。

3.图中还有那些特殊的三角形？

(有平行线和角分线就会出现等腰三角形，有矩形就会

出现直角三角形。)

再一次强调折叠得全探究活动二：

全等得边等、角等。在矩形纸片ABCD中，按如图方式折叠，使点B与点等，D重合，折痕为EF.

分析：

1.图中全等的图形有哪些？

2.图中相等的线段有哪些?相等的角有哪些?

3.图中还有哪些特殊的三角形？

图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形.

抓住不变量。弄清折叠的本质，折叠过程中的变量和不变量. 通过及时的帮助学生梳理知识和方法，掌握解题方法和技巧，

探

究

新

知

（图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形。）

总结：

以上两个探究活动体现了折叠问题中的基本折法，通过两个探究活动，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路. 首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出全等图形，找出相等的线段、角等，这些是我们解决问题的基本条件. 其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到直角三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.

应用：

在矩形纸片ABCD中，按如图方式折叠，使点B

讲练结合，让学生在动手做题的过程中悟出与点D重合，折痕为EF.

解答矩形折叠问题中1．角度的计算

求角度问题的依据和关键

若∠EFD＝75°，求∠AED。

探

究

新

知

（折叠得全等，全等得角等，再利用矩形的对边平行的性质可以求出角的度数。）

2．线段的计算

若AD＝3，AB＝9，求BE的长．

（在矩形中求边的长度，要把矩形中的折叠问题和勾股定理紧密结合，运用方程来解决问题.）

一题多变，图形不变，条件变，培养学生灵活运用知识的能力。此题目的设计，达到学生能够熟悉利用勾股定理，建立方程的解题方法和思路。

3．面积的计算

若AD＝3，AB＝9，求：四边形DEBF的面积．

探

究

新

知

将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角(连接BF,则四边形DEBF是特殊的四边形菱形，计算

形、四边形的诸多知识，千面积的方法有底×高，割补法，对角线乘积的一半。) 变万化，趣味性很强。

4．折痕计算

若AD＝3，AB＝9，求EF的长．

方法一：构造直角三角形

方法二：等积法

方法三：菱形的对角线

一题多解，本环节的设计，调动学生的积极性.培养学生挖掘图形的所有价值的能力.通过及时的帮助学生梳理知识和方法，掌握解题方法和技巧，进一步培养学生分析问题和决问题的能力

3、小结

感悟与收获

通过本次探究谈谈你的收获？

归纳

总结

4、目标检测

以小组合作形式进行的。全员参与，理清知识脉络，让学生明确本次探究获得的新知，同时让学生体会本次探究中获得的经验和方法，从而体会探究中所蕴含的数学思想。培养学生语言表达及概括能力。活跃课堂气氛。

1．

将长方形ABCD的纸片，沿EF折成如图所示；已知EFG=55º，则FGE=

2．如图，矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在AD（1）（2）题进一步

加强学生对折叠中简单目

标

检

测

的角度计算的理解，利边上的F点处，如果ABF=60º，则CBE=

用轴对称图形的对称性

FBCDA

和平行线的性质作联系CBG

E

E找等角来计算相关的度

D'

数。

AFDC'

第1题

第2题

（3）在矩形中求边的长

3．折叠矩形ABCD，让点B落在对角线AC上，如度，要把矩形中的折叠图，若AD=4，AB=3，请求出线段EF=________。

问题和勾股定理紧密结

DA

合，运用方程来解决问

F题.进一步巩固本课的

解决线段长度问题的

CBE

第3题

4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘（4）题再一次回到基本米，

现将A、C重合，再将纸片折叠压平. （1）△AEF是_________三角形. 模型，强调折叠前后的（2）AE=_______. 变量和不变量，由矩形（3）试确定重叠部分△AEF的面积.

性质、折叠找线段等，

设未知数，选择恰当的

直角三角形，利用勾股

定理建立方程，解方程。内化本节课的知识体系，并熟练掌握。

第4题

另附《矩形中的折叠问题》的分点式教学案

矩形中的折叠问题

教学设计

汪丽莉

西宁市第七中学