2. 万有引力定律优秀导入

2．太阳与行星间的引力

三维目标

知识与技能

1．理解太阳与行星间引力的存在；

2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式。

过程与方法

1．通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性；

2．体会推导过程中的数量关系。

情感、态度与价值观

感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘。

教学重点

据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式。

教学难点

太阳与行星间的引力公式的推导过程。

教学方法

探究、讲授、讨论、练习。

教具准备

多媒体课件。

教学过程

［新课导入］

请同学们从运动的描述角度思考，开普勒行星运动定律的物理意义？

第一定律揭示了描述行星运动的参考系及其运动轨迹；第二定律揭示了行星在椭圆轨道上运动经过不同位置的快慢情况；第三定律揭示了不同行星虽然椭圆轨道和环绕周期不同，但由于中心天体相同，所以共同遵循轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值相同的规律。

开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？伽利略、开普勒以及法国数学家笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家，如胡克对这一问题的认识更进一步。胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是我们现在关于运动的清晰概念是在他们以后由牛顿建立的。

牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的回答是：以任何方式改变速度（包括改变速度的方向）都需要力。这就是说，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。于是，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。

不仅如此，牛顿还认为，这种引力存在于所有物体之间，从而阐述了普遍意义下的万有引力定律。

这一节和下一节，我们将追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑，重新“发现”万有引力定律。为了简化问题，我们把行星的轨道当做圆来处理。

［新课教学］

人类对行星运动规律原因认识的过程

略微介绍十七世纪前以及伽俐略，开普勒，笛卡儿的观点。

17世纪前：行星理所应当的做这种完美的圆周运动 伽利略：一切物体都有合并的趋势，这种趋势导致物体做圆周运动。

开普勒：受到了来自太阳的类似与磁力的作用。 笛卡儿：在行星的周围有旋转的物质作用在行星上，使得行星绕太阳运动。 到牛顿这个时代的时候，科学家们对这个问题有了更进一步的认识，例如胡克、哈雷等，他们认为行星绕地球运动受到太阳对它的引力，甚至证明了行星轨道如果为圆形，引力的大小跟太阳距离的二次方成反比，但无法证明在椭圆轨道下，引力也遵循这个规律。

牛顿在前人的基础上，证明了如果太阳和行星的引力与距离的二次方成反比，则行星的轨迹是椭圆，并且阐述了普遍意义下的万有引力定律。接下来我们就跟随牛顿先生一起去研究这个万有引力定律。

由于行星运动的椭圆轨道很接近与圆形轨道，所以我们把它理想化为一个圆形轨道，这样就简化了问题，易于我们在现有认知水平上来接受。

【思考讨论】

①行星在椭圆轨道上运动是否需要力？这个力是什么力提供的？这个力是多大？太阳对行星的引力，大小跟太阳与行星间的距离有什么关系吗？

②行星的实际运动是椭圆运动，但我们还不知道求出椭圆运动加速度的运动学公式，我们现在怎么办？把它简化为什么运动呢？

③既然把行星绕太阳的运动简化为圆周运动。那么行星绕太阳的运动可进一步简化为匀速圆周运动吗？为什么？

以上的过程归纳为：行星做曲线运动→必受到力的作用→把行星绕太阳的运动简化为圆周运动→进一步简化为匀速圆周运动。

既然行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，即为曲线运动，那么肯定有一个力要来维持这个运动，那么这个力是由什么来提供的呢？我们跟随着科学家们一起去研究讨论这个问题。

一、太阳对行星的引力

我们很容易想到，太阳对行星的引力F跟行星到太阳的距离r有关，然而它们之间有什么定量关系？

根据开普勒行星运动第一、第二定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。

1．设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力

mv2F=

r2．天文观测难以直接得到行星运动的速度v，但可得到行星公转的周期T，它们之间的关系为

v=2r

T把这个结果代入上面向心力的表达式，整理后得到

42mrF=

T23．不同行星的公转周期是不同的，F跟r关系的表达式中不应出现周期T，所以要设法r32消去上式中的T。为此，可以把开普勒第三定律变形为T=，代入上式便得到

k

F=42km

2rm成正比，也就是

2r4．在这个式子中可以看到，等号右边除了m、r以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的。因而可以说太阳对行星的引力F与F∝m

2r这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。

二、行星对太阳的引力

就太阳对行星的引力来说，行星是受力星体。因而可以说，上述引力是与受力星体的质量成正比的。

根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳。就行星对太阳的引力F¢来说，太阳是受力星体。因此，F¢的大小应该与太阳质量M成正比，与行星、太阳距离的二次方成反比。也就是

F¢∝M

2rmM¢F、∝，而F和F¢的大小又是相等的，所以我们可以概括地说，太阳与r2r2距离三、太阳与行星间的引力

由于 F∝行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者的二次方成反比，即

F∝Mm

2rMm

2r写成等式就是

F=G式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。

太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。

开普勒用三句话根据了第谷积累的数千个观测数据，展示了行星运动的规律性，与原始数据相比，既深刻又简洁。我们利用数学的方法，结合牛顿运动定律，对开普勒定律做了加工，得到了F=GMm，揭示了控制行星运动的力，比开普勒定律更深刻、更简洁。

2rMm然而，F=G2来源于开普勒定律，因此它只适用于行星与太阳间的力。牛顿从这里r又向前走了一大步，他的思想超越了行星与太阳，这就是下节要学习的──万有引力定律。

【说一说】

如果要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，我们需要观测这些卫星运动的哪些数据？观测前你对这些数据的规律有什么假设？

［小结］

本节课结合圆周运动及开普勒行星运动定律，分析了太阳对行星、行星对太阳及太阳与行星间的引力，最后得出了太阳与行星间引力的关系式，用我们所学的知识掌握了天体运动的规律，下节课我们还要将这一规律推广到宇宙中各物体之间。

［布置作业］

教材第36页“问题与练习”。

板书设计

2．太阳与行星间的引力

一、太阳对行星的引力

mv2F=

r2r

T42mrF=

T2r32T=

kv=F=42kmm2

ÞF∝2

rr

太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。

二、行星对太阳的引力

F¢∝M

2r三、太阳与行星间的引力

mMMmMm¢F、∝F∝

ÞÞF=G2222rrrr式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。

F∝太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。