2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录【1】

郑中钧中学高一

数学

钟喜容

课题：《平面向量的正交分解及坐标表示》

课时安排：1课时

一、学习目标：

1.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义；

2.理解向量的正交分解及其意义。

3.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算；

二、学习内容

（一）复习引入：

平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实

数λ1，λ2使a=

（二）新课导学

不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角来表示：

１．向量的夹角（请同学们自学教材第94页的内容，并按要求完成下列知识提炼及练习）

（1）已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与b的 . （2）当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b ；

（3）当θ＝时，a与b垂直，记 ；

2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点, 夹角的范围

. 练习：等边△ABC中，AB与BC的夹角是

2.向量的坐标表示（请同学们自学教材第95页的内容，并按要求完成下列知识提炼及练习）

Ａ(x,y)ja2aa1ia2jaia1A(x,y)O图1OO图2图3在图１中：Ａ(x,y)中的x,y的意义是什么？

基底,由平面向量基本定理知，对于平面内任一向量a，有且只有一对实数x、y，使得

在图２中：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为axiyj，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作：a＝

在图3中：把向量a平移到以Ｏ为起点，想一想，此时向量的坐标与向量终点Ａ的坐标有什么关系？

结论：若向量的起点与原点Ｏ重合，则向量的坐标与终点坐标

思考：向量坐标与点坐标的区别与联系是什么？

例1：如图，分别写出以下向量的坐标：

(1) a＝

；

(2) b＝

；

(3) c＝

；

(4) d＝

；

练习：

1、已知i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，若a=（3,4），则a可以用i、j表示为（ ）

A．a3i4j B．a3i4j C．a3i4j D．a4i3j

3.平面向量的坐标运算：（请同学们自学教材第Ｐ96－Ｐ98页的内容，并按要求完成下列知识提炼及练习）

(1)向量之间的运算：若a(x1,y1),b(x2,y2),R

则ab___________，ab____________，a=_______________

(2)向量起点、终点坐标与向量坐标的公式：

若A(x1,y1),

练习：

B(x2,y2)则AB___________

1．已知向量a(1,3)，向量b(2,1)，求以下向量的坐标运算：

ab= ab= 3a 2a3b= 2．已知A(1,2),B(3,4),则向量AB的坐标是 。

例1：已知a(1,2),b(3,1),c(11,7)，且cxayb，求x,y.

例2：（课本Ｐ101）已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B（3，-1），C（5，6），求顶点D的坐标。

变式１：（课本Ｐ119）已知四边形ABCD的顶点A(0,1),B（1，0），C（1，2），Ｄ（2，1），证明：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形；

变式2：（课本Ｐ101）

练习：

１. O1OBOA,则向量OB的坐标是 是坐标原点，向量OA的坐标是（4，0），向量2[来源:Z| 2.

已知m(2,7),

n(x2,7)，若mn，则x=

3.若向量a(2,0)，b(1,3)，则ab，

ab的坐标分别为（

）

A、(3,3)，(3,3)

B、(3,3)，(1,3)

C、(1,3)，(3,3)

D、(1,3)，(3,3)

4．（１）已知a(5,4)，起点坐标是(3,6)，则终点坐标是 。

（2）已知a(1,2)，终点坐标是(2,1)，则起点坐标是 。

5.已知平行四边形ＡＢＣＤ的三个顶点Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别是（－２，１）、（－１，３）、（３，４），试求顶点Ｄ的坐标。

6.当点P是线段P1P2的中点时，

P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，求点P的坐标(x0,y0)；

7.已知点Ｏ(０,０),向量OA(2,3)，OB(6,3)点Ｐ是线段ＡＢ的三等分点，求点Ｐ的坐标；

