2.1.3 相等向量与共线向量ppt配套教案和课堂实录

2.1.3 相等向量与共线向量

问题提出

1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？

2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？

探究（一）：相等向量

思考1：向量由其模和方向所确定，对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

1.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如图，向量a与b相等记作a=b。

零向量与零向量相等。

思考3：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

思考4：用有向线段表示非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

思考5：非零向量AB与BA称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？

2.向量的相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。

注意：(a)a

规定，零向量的相反向量仍是零向量。

1

探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

若a，b平行，记作a∥b。

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。

思考2：平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a，OB=b，OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

4.共线向量：平行向量也叫做共线向量。

思考4：如果非零向量AB与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考5：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考6：对于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c吗？

思考7：对于向量a、b、c，若a// b，b// c，那么a// c吗？

思考8：相等向量与共线向量的区别与联系？

知识运用

例1.判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）不相等的向量一定不平行。（）

（2）若两个单位向量共线，则这两个向量相等。（）

（3）向量就是有向线段。（）

（4）任意两个相等的非零向量的始点和终点是一平行四边形的四个顶点。（）

（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a// b，|a|不一定等于|b|。（）

例2.判断下列各命题的真假：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；

④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D点必在同一条直线上；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。

其中假命题的序号为__________。

2

4.下列各命题中，真命题的个数为

（

）

①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；

②若ABDC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=b,b=c，则a=c;

④若a∥b,b∥c,则a∥c.

A.4

B.3

C.2

D.1

解析

①由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确定

向量的方向，如在正方形ABCD中，| 题错误. ②由ABAB

|=| AD

|，但AB与AD既不相等也不互为相反向量，故此命DC可得|AB|=|DC|且AB∥DC，由于AB∥DC可能是A，B，C，D在同一条直线上，

故此命题不正确. ③正确. ④不正确.当b=0时，

a∥c不一定成立. 答案

D

例3.如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所示标出的向量中，与FE共线的向量有______。

例4.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，……，an，则这n个向量（

）

A.都相等

B.都共线

C.都不共线

D.模都相等

小结作业

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 课后作业

1.在四边形ABCD中，ABDC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（

）

A.矩形

B. 菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

2.已知向量a,b，则“a//b”是“a+b=0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.O是△ABC内一点，且|OA|=|OB|=|OC|，则O是△ABC的(

) A.重心

B.内心

C.外心

D.垂心

ab4.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ）

|a||b|A.a∥b且|a||b|

B.ab

C.a∥b

D.a2b

5.设D是正PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是PP12P3的中心，若集合3

S{P|PD,|PP,2,3}，则集合S表示的平面区域是

(

) 0||PPi|,i1A.三角形区域

B.四边形区域

C.五边形区域

D.六边形区域

6.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线AC、BD的交点，设点集M={A、B、C、D、O}，向量集合T={PQ|P、Q∈M且P、Q不重合}，求集合T元素的个数。

7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG。

2.1.3

相等向量与共线向量

问题提出

1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度. 零向量：模为0的向量.

单位向量：模为1个单位长度的向量. 师：引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系，对此，我们将作些研究。

探究（一）：相等向量

思考1：向量由其模和方向所确定，对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

师：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

1.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如图，向量a与b相等记作a=b。

零向量与零向量相等。

师：任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关，在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量。

例如ab，就意味着|a||b|，且a与b的方向相同。

4

思考3：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

思考4：用有向线段表示非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

思考5：非零向量AB与BA称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？

2.向量的相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a。

注意：(a)a

师：由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和a互为相反向量，于是(a)a。

规定，零向量的相反向量仍是零向量。

师：任一向量与其相反向量的和是零向量，即a(a)(a)a0，所以，如果a，b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。

探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

方向相同或相反

3.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

若a，b平行，记作a∥b。

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。

师：今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时,一定要注意讨论是“零向量”还是“非零向量”。

思考2：平行向量所在的直线一定互相平行吗？

师：将向量平移，不会改变其长度和方向。

思考3：如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a，OB=b，OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

师：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

4.共线向量：平行向量也叫做共线向量。

5

思考4：如果非零向量AB与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考5：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考6：对于向量a、b、c，若a =b，b =c，那么a = c吗？

思考7：对于向量a、b、c，若a// b，b// c，那么a// c吗？

师：注意向量的“平行”和“共线”的含义与平面几何中的“平行”和“共线”的含义不同，如果两个向量所在的直线重合，我们也可以说它们平行；如果两个向量所在的直线平行，我们也可以说它们共线。

思考8：相等向量与共线向量的区别与联系？

相等向量是指方向与长度都相同的向量，共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。

知识运用

例1.判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）不相等的向量一定不平行。（×）

（2）若两个单位向量共线，则这两个向量相等。（×）

（3）向量就是有向线段。（）

（4）任意两个相等的非零向量的始点和终点是一平行四边形的四个顶点。（）

（5）|a|=|b|，a，b不一定平行；a// b，|a|不一定等于|b|。（）

4.下列各命题中，真命题的个数为

（

）

①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；

②若ABDC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=b,b=c，则a=c;

④若a∥b,b∥c,则a∥c.

A.4

B.3

C.2

D.1

解析

①由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确定

向量的方向，如在正方形ABCD中，| 题错误. ②由ABAB

|=| AD

|，但AB与AD既不相等也不互为相反向量，故此命DC可得|AB|=|DC|且AB∥DC，由于AB∥DC可能是A，B，C，D在同一条直线上，

故此命题不正确. ③正确. ④不正确.当b=0时，

a∥c不一定成立. 答案

D

例2.判断下列各命题的真假：

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；

④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

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⑤向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D点必在同一条直线上；

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。

其中假命题的序号为__________。

例3.如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所示标出的向量中，与FE共线的向量有______。

例4.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，……，an，则这n个向量（

）

A.都相等

B.都共线

C.都不共线

D.模都相等

小结作业

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. 课后作业

1.在四边形ABCD中，ABDC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（）

A.矩形

【答案】B 2.已知向量a,b，则“a//b”是“a+b=0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B 3.O是△ABC内一点，且|OA|=|OB|=|OC|，则O是△ABC的(

) A.重心

B.内心

C.外心D.垂心

B. 菱形

C. 直角梯形

D. 等腰梯形

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4.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使ab成立的条件是（ ）

|a||b|A.a∥b且|a||b|

B.ab

C.a∥b

D.a2b

ab|a|b的一个充分条件是ab，【解析】表示a与b是同向的非零单位向量，则a其中0

|a||b||b|A、C.可以推得abab或为必要不充分条件；

|a||b||a||b|b|b|为既不充分也不必要条件；

B.可以推得若使a|a|ab成立，则a与b方向相同，选项中只有D能保证，

|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 5.设D是正PP12P3及其内部的点构成的集合，点P0是PP12P3的中心，若集合S{P|PD,|PP,2,3}，则集合S表示的平面区域是

(

) 0||PPi|,i1A.三角形区域

答案D 解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，P,3即点0AP2APAii1P可以是点A.

B.四边形区域

C.五边形区域

D.六边形区域

6.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线AC、BD的交点，设点集M={A、B、C、D、O}，向量集合T={PQ|P、Q∈M且P、Q不重合}，求集合T元素的个数。

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7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF=HG。

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