解决问题教学设计(第一课时)

函数的单调性教案

授课教师：

兰考县考城镇东马庄小学 曹双梅

课

题：函数的单调性

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）P 57—P 60 教学目标：

1．知识与技能目标

使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

2．过程与方法目标

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3．态度与情感价值观目标

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

教学重点：

函数单调性的概念、判断及证明。

教学难点：

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

教学方法：

教师启发讲授，学生探究学习。

教学手段：

计算机、投影仪。

教学过程：

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：

(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事. 下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出下列函数图像：

1 yx2,yx2,yx,y

x2并观察当自变量变化时，函数值有什么变化规律？

预案：(1)函数y =x +2在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数y =-x +2在整个定义域内 y 随x 的增大而减小．

(2)函数yx在[0, +∞) 上 y 随x 的增大而增大，在(-∞, 0) 上y 随x 的增大而减小．

(3)函数y21在在(-∞, 0) 上y 随x 的增大而增大，在（0, +∞) 上 y 随x 的x增大而减小。

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数) ．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? y上 y 随x 的增大而减小，y1在(0, +∞) x1在(-∞, 0) 上y 随x 的增大而减小。

x预案：如果函数f (x ) 在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x ) 在该区间上为增函数；如果函数f (x ) 在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x ) 在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识. 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数yx(x0)的图像 2x

你能说出此函数在哪个间为增函数和减函数吗？

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。 问题2：如何从解析式的角度说明f(x)x在[0, +∞) 为增函数？

预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为f(2)f(3), 所以2x2f(x)x在

（0, +∞) 为增函数．

x(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)x在（0, +∞) 为增函数．

(3) 任取x1,x2∈（0, +∞), 且结合yx(x0)的图象, 能说出这个函数分别在哪个区间是减函数？哪个区间是增函数吗？

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析, 使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1,x2，满足取值的任意性。

3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

2x2x

(1)板书定义（师生共同归纳）

定义：一般的，设函数定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任2意两个自变量的值x1,x2,当xx1f(x)＜x2时，都有f(x1)＜ f(x2)，则函数f(x)在x称为此函数f(x)的递增区间。

区间D上是增函数；此时区间D学生类比得出减函数的定义：若都有 f(x1)＞ f(x2),则函数f(x)在区间D上是减函数。此时区间D称为此函数f(x)的递减区间。

(2)巩固概念

判断题： ①已知函数 , 因为 ，所以函数

是增函数。

②若函数f(x)满足f(2)f(3)，所以函数f(x)在2,3是单调递增函数。

11f(1)f(2)f(x)x(1, 2]和(2,3)上均为增函数，则函数x③若函数f (x )在区间f (x )在区间(1,3)f(x)上为增函数．

④因为函数 在区间(-∞, 0) 和(0, +∞) 上都是减函数，所以 函数 在x,00,上是减函数. 通过判断题，强调三点：

f(x)1f(x)①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单x调性。

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数) ，可以是定义域内某个区间(如二次函数) ，也可以根本不单调(如常函数) 。

③函数在定义域内的两个区间A , B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数。

思考：如何说明一个函数在某个区间上是不是单调函数? 三、掌握证法，适当延展

在2,上是增函数。

1x例：证明函数

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：

 在引入导数后，用定义证明单调性的作用已经有所降低，我选择一个()2(x2x1)xx12较难的例子，主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有个比较深刻的认识。 证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤。

1.难点突破

对于函数单调性的证明，由于前边有对函数f(x)x在0,

2xx12上为增函数的研究作铺垫,大部分学生能完成取值和求差两个步骤：

证明：任取1x,x2,，且xx22f(x)f(x)(x)(x)

xx1212， 21212因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔；另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论。

针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数

f(x)x在0,是增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.2然后我引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式(x1x2)，提取后即可考虑判断符号。

2.详细板书

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习惯.

x,x2,且xx 设元

22 f(x)f(x)(x)(x) 求差 xx证明：

任意取1121221212 变形

因为x1,x22,，得x1x22， 断号

xx，得xx0，

所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)

又由于11212212所以函数 在2,上是增函数。 定论

3归纳步骤

在板书的基础上，我引导学生归纳利用定义证明函数调性的方法和步骤(设2元,求差,变形,f断号,定论使学生明确每一步的必要性(x)x).通过对证明过程的分析，x和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力，为了巩固定义证明函数单调性的方法，强化解 步骤，形成并提高解题能力，我设计了课堂练习：

证明：函数f(x)x在0,上是增函数。（学生当堂自己练习）

教学过程中，我对学生的完情况进行及时评价和有针对性的指导，同时考虑到我校学生数学基础较好，思维较为活跃的特点，为了加深学生对定义的理解，并对判断单调性的方法做适当延展，我设计了下的问题。

问题：除了用定义外如果证得对于任意的f(x1)f(x2)0，能判断f(x)在a,b上是增函数吗？

均有x1x2x,xa,b，且xx1212，

在教学过程中，我引导学生分析这种叙述与定义的等价性，然后让学生尝试用这种定义等价形式证明之前的课堂练习，这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数的单调性埋下伏笔。

（四）归纳小结，提高认识

本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后学习打好基础。

在学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

2.布置作业

书面作业：课本第60页

习题2.3 第4，5，6题．

（2）研究函数f(x)x(x0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

1x