二次根式应用教学设计一等奖

16.1 二次根式的应用

一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。

情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题的能力及研究问题的严谨性。

二、学习重点：理解二次根式的概念

三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。

四、学习过程

（一）复习引入：

1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。

2、

（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________；

（2） 16的算术平方根是_______，

用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）

正数a的算术平方根为_______，

（5）－7_______算术平方根。

归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根

（二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题

思考：用带有根号的式子填空

1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。

2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。

3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。

一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式

（学生举例巩固）

（四）议一议

1、-1有算术平方根吗？

2、0的算术平方根是多少？

3、当a<0时，有意义吗？

点评：1、表示非负数a的算术平方根。

2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。

1

3. a≥0，a≥0.其中a≥0是a有意义的前提条件。

试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

3a(a³0)；x2+1；a

；

16；4；5；3x2+2x+1；23；5.

分析：二次根式应该满足两个条件：第一有二次根号，第二被开方数是正数或0。

（五）深入探究 教师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的一类式子。

探究：1、当x取何值时，下列各二次根式有意义？

2①3x4

②2+x

③

3-1

2-x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0.以3x4为例，要满足 43x-4≥0 即x≥

时，3x4在实数范围内有意义。学生独立完成后两题。

32、（1）若a-3-3-a有意义，则a的值为___________．

（2）若-x在实数范围内有意义，则x为（

）。

A.正数 （六）拓展延伸

1、 (1)在式子B.负数 C.非负数

D.非正数

1-2x中，x的取值范围是____________. 1+x(2)已知x2-4+2x+y＝0，则x-y＝ _____________. (3)已知y＝3-x2+ x-3-2 ,则yx= _____________。 （七）巩固练习

1、课后练习1、2题

2、（1）若3m-1是二次根式，则m的取值范围是_____________ （2）若-m+1有意义，则m的取值范围是____________ m+1（3）若实数x，y满足y=x-2-2-x-3，则yx的值为____________

（八）反馈总结 (学生归纳总结)

2

1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

2．式子a(a0)的取值是非负数。

（九）布置作业

教材19页复习巩固1题、综合运用5题。

16.1 二次根式性质(2)

一、

学习目标

：知识与技能：理解（a）2=a（a≥0）和a2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

过程与方法：通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）、a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题，最后运用结论严谨熟练地解题．

情感态度与价值观：培养学生的逻辑推理能力，由特殊到一般的归纳得出结论，锻炼语言表达能力。

二、学习重点：（a）2=a（a≥0）、a2＝a（a≥0）及其运用．

三、学习难点：探究导出（a）2=a（a≥0）．当a≥0时，a2＝a才成立

四、学习过程

（一）、复习引入

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

（二）、探究新知

1. 议一议：a（a≥0）是一个什么数呢？

得出

a（a≥0）是一个非负数．

2. 做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______．

32老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非

3

负数，因此有（4）2=4．综上可知有

（a）2=a（a≥0）

3.

讲解例2

分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

4. 巩固练习

（18）2

（2272 92）

（）

（0）2

（4）438(35)2(53)2

5. 在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4

(3) 2x2-3

（三）探索升华

1. 我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______．

37

2. 明确：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

12312322=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

10371037

因此，一般地：a2=a（a≥0）

3. 巩固练习

（1）9

（2）(4)2

（3）25

（4）(3)2（5）（x1）2（x≥0）

（6）（a2）2

（7）（a22a1）2

（8）（4x2129x）2

（四）、应用拓展

当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若a2=a，则a可以是什么数？

（2）若a2=-a，则a可以是什么数？

明确：根据（1）、（2）可知a2=│a│．

（

五）、归纳小结

4

二次根式的性质：（a）2=a（a≥0）、a2＝a（a≥0）。

同时理解：当a<0时，a2＝－a

（

六）、布置作业．教材5页2、

3、4。

19页2题

5