二次根式的混合运算公开课教案

二次根式混合运算

教学目标

一．知识与技能

在有理数的混合运算及整式的混合运算基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的联系,在比较中得到方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.

二．过程与方法

1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,注意运算顺序及运算律在计算过程中的作用.

2.通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.

三．情感与态度

1.学会知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性.

2.通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度.

四．教学重点与难点

【重点】

能熟练进行二次根式的混合运算.

【难点】

灵活运用因式分解、多项式成多项式等技巧,运用运算律使计算简便.

五．教学准备

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

复习总结二次根式的乘除法运算的方法.

六．教学过程

1.新课导入

导入: 回顾整式的乘法法则与乘法公式完成下列问题：

⑴ 2x3yz

＝2xz+3yz ；

⑵ x4x5 ＝x2-x-20 ；

⑶ 2x3y2x3y

＝ 4x2-9y2 ；

2x2y⑷

＝ x2+4xy+4y2 . 学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×多项式;多项式×多项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用.

如果把上面的x,y,z改写成二次根式呢？以上的规律任然成立吗？

2.新知构建

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算.

小组讨论后,全班交流.

[知识拓展]

(1)适用于二次根式的乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b;②22完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)乘法公式的变式:①位置变化:(x+y)(-y+x)=x2-y2;②符号变化:(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2;③指数变化:(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4;④系数变化:(2a+b)(2a-b)=4a2-b2;⑤换式变化:[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2;⑥增项变化:(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=x2-2xy+y2-z2;⑦连用公式变化:(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4;⑧逆用公式变化:(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz

2.二次根式的混合运算

[过渡语]

二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗?

怎样计算(3-2)(2-2)?

同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.

(3-2)(2-2)

=3×2-3×2-2×2+2×2

=23-6-4+22

教师明确:二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的.

3.例题讲解

[过渡语]

刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合

运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题.

(教材例3)计算: (1)(8＋3)×6；

(2)(42－36)÷22.

引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可.

(教材例4)计算:

(1)(2＋3)(2－5)；

(2)(5＋3)(5－3)；

学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便.

[知识拓展]

(1)像(5＋3)(5－3)乘积可以运用平方差公(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式,就属于互为有理化因式.一般常见的互为有理化的两个代数式有如下几种情形:①和;②+和-;③a+和a-;④m+n和m-n.(2)分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘一个二次根式,达到化去分母中的根号的目的.把分母有理化得==.

[设计意图]

通过例题训练,使学生逐步形成类比意识,理解新旧知识的联系.

3.课堂小结

师生共同回顾本节课所学主要内容:

关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.

4.检测反馈（即导学案当堂检测）

1.计算(2232128)3的结果是（ ）

A：6 B：66 C：63 D：46

2.计算(54812627)3的值是（ ）

A：4 B：-4 C：2 D：-2 3.若a17，b是a的小数部份，则ab 4.计算

（1）23(123751108)（2）(322)(21)2

3（3）(103)(103)

5.先化简，后求值：

2a210a25a28a16，其中a25

5.板书设计

第2课时

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

2.二次根式的混合运算

3.例题讲解

例1

例2 6.布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第14页练习第1,2题;教材第15页习题16.3第4题.

【选做题】

教材第15页习题16.3第6,7,8,9题.

七．教学反思

成功之处

教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,反映了数学理论的一贯性,使学生在学习中感到所学并不难.整节课,始终以练习为主,通过例题练习,将新旧知识紧密联系在一起,并不断巩固运算法则和运算律在二次根式的运算中的运用.

不足之处

过分注重了探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用的问题,让学生运用法则和公式计算二次根式的混合运算的练习时间较少,一些学生还容易出现运算顺序出现错误和错用公式的现象.

再教设计

适当增加变式练习,增加二次根式混合运算的例题,提高分析问题和解决问题的能力,真正达到灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便的目的.