小结练习（1）教案公开课一等奖

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课题：与一次函数有关的三角形面积问题

【教学目标】

（一）知识与技能

1.

会利用一次函数的图象解决与一次函数有关的三角形面积问题。

2.

会根据面积求一次函数的解析式。

（二）过程与方法

通过探索与一次函数有关的三角形面积问题，提升一次函数的应用能力，体会“割补法”，“化归思想”，“分类讨论思想”。体会利用一次函数求三角形面积和利用三角形面积求一次函数的互逆过程以及明确其求解关键皆为求顶点的坐标。

（三）情感、态度与价值观

通过由浅入深、由易到难的问题串的提问方式，树立学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的学习习惯。

【教学重难点】

1.

教学重点：会利用一次函数求三角形面积。

2.

教学难点：利用割补法求解三角形面积；利用一次函数求三角形面积和利用三角形面积求一次函数的互逆过程以及明确其求解关键皆为求顶点的坐标。

【教学过程】

（一）温故知新

如图，求出△ABC，△DEF的面积.

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设计意图：回顾在平面直角坐标系中三角形面积的求解，总结解题关键在于找到好求的底及相应的高，然后根据点的坐标计算出底和高的长度，从而求出面积。所以在平面直角坐标系中只要知道三个点的坐标就可以求出相应三角形的面积即在平面直角坐标系中求出三角形的面积关键在于求出三个顶点的坐标。而借助一次函数我们可以快速求出其图像与x,y轴的交点坐标以及两直线的交点坐标，从而给整节课做好铺垫，降低难度。

（二）典例分析

已知解析式求面积

1例1 . 已知直线

l1:yx2,它与x，y轴的交点分别是A和B.

2（1）求△AOB的面积.

（2）已知另一条直线l2:yx1，求l1,l2与x轴围成三角形的面积.

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（3）l4为过A、E的直线

，求l1,l2与l4围成图形的面积.

设计意图：例1的目的是带领学生探索已知一次函数求三角形的面积问题而不是求交点坐标，所以通过变式的形式减少了重复算交点的次数，为突破重点和难点节约时间，例1中最重要的为第（4）问。问题的设计(1)三角形两边在坐标轴上的面积求解，(2)三角形一边在x轴上的面积求解（可拓展到一边在y轴上的面积求解），（3）三角形中任何一边都不在坐标轴上且都不平行于坐标轴，其目的是将面积求法分为两类：①直接求（如前三问中找出好求的底及其相应的高，并借助一次函数求出交点坐标，用坐标来表示底和高的长）；②间接求（对不好找出底及相应高的可以通过割补法或等面积法转化成(1)(2)求解，重点在于一题多解，下附上解法）。讲解的设计：(1)板书，(2)学生板书再提炼思维导图，(3)让学生先思考再说解法最后提炼出思维导图。通过例1可以知道解题思路为：一次函数解析式→交点坐标

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→底和高的长→三角形面积，对于（3）可以转化为(1)(2)的形式再求解,从而渗透化归思想。

下附上(2)(3)的思维导图：

（2）：

(3):法1 (切割法)

法2（补全法）

法3 .（切割法）

过M作MF⊥x轴交AE点F,交x轴于点H. 过E作EG⊥MF交MF的延长线于点G, A(4,0),E(0,1)，令l4：y=kx+b则：

0=4k+b

得

-1=b

即：yx1

14k=

-1=b 1413M(2,1)，F(2,),MF

22

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SMEASMEFSMFA11MFEGMFAH2211MFOHMFAH

221MFAO2134223总结：三角形的面积等于二分之一水平宽乘以铅垂高。

法4 .（等面积法）

过M作MF//l4，交y轴于点F，

则M到l4的距离等于F到l4的距离。

又底都为AE，则SMAESMFE

由法（3）l4：yx1

1411则MF：y=x+

421则F（0，）

2SMAE14令MF：y=x+b，过M(2,1) SFAE1EFOA21yFyExA211(1)4223

已知面积求解析式

1l:yx2,它与x，y轴的交点分别是A和B.

例2.如图,直线12

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点P在x轴上，△ABP的面积为6．若直线ykxb的图象经过P点和B点，求这条直线的表达式..

设计意图：SAOB

AP为底OB为高

AP的长

A（4,0）点P的坐标

B（0,2）直线BP的表达式，因为从AP的长度到求P点坐标时，P 可能在A的左边或右边，所以需要分类讨论，渗透分类讨论思想。

体验已知一次函数求面积和已知面积求一次函数的互逆过程，并且明

白两者的求解关键都是求出顶点的坐标。

（三）拓展提升

1l:yx2,它与x，如图,直线1y轴的交点分别是A和B.直线m经2过O点,并且与线段AB交于点P，把△AOB的面积分为2:1两部分.求直线m的表达式.

设计意图：再次渗透分类讨论思想，体验已知面积求一次函数的一般

步骤，并且进一步体会求解关键是求出顶点的坐标，最后利用待定系

数法求直线表达式。

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（四）课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

知识、思想和方法。

教师强调：①已知一次函数求三角形面积的一般思路，其关键是什么？②不好找底和高的三角形面积求解用割补法或等面积法。③已知一次函数能求出多边形的面积吗？如四边形。④已知三角形面积求一次函数的一般思路，其关键是什么？⑤求点的坐标时要注意分类讨论。⑥已知一次函数求三角形面积和已知面积求一次函数两者的关联是什么？

（五）课后提升

1l:yx2,它与x，如图,直线1y轴的交点分别是A和B.直线m经2过O点,并且与直线l1交于点P，使得△AOP与△AOB的面积比为2:1.求直线m的表达式.

【教学评价与反思】

1.

建构起完整的知识体系。

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本节课旨在研究与一次函数有关的三角形的面积问题，主要从两块来研究，①已知一次函数求三角形面积，②已知面积求一次函数的解析式，有助于学生将一次函数与三角形面积的有关问题研究透彻，找到解题关键是得到点的坐标，对此知识有一个整体认识，使学生达到“胸怀全局”的效果，加深学生对知识的理解，易于学生将相关知识融会贯通。

2.关注探究过程，注重思维的培养

在探究中注重提炼每道题的思维导图，让学生的思维参与到教学中来，有助于学生形成正确的解题思路，好的思维方式。

3.渗透思想方法，提高数学核心素养

数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在最高层次上的抽象和概括。对于任何一边都不在坐标轴上也不与坐标轴平行的三角形，学会用割补法将其转化成一边在坐标轴上或一边与坐标轴平行的三角形，使学生学会将不会的转化成已经学会的体现化归的数学思想。另外，在已知面积求一次函数解析式时体现分类讨论的数学思想。