4.3正比例函数的图象与性质优秀完整教案

课题：正比例函数的图象和性质

一、教学内容分析

《正比例函数的图象和性质》是九年制义务教育课本八年级第一学期第十四章的内容。之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数，是同学们初中第一次接触的函数，描点画图得到其图像的方法为后面学习反比例函数的图像，以及下学期学习一次函数和二次函数打下良好基础。并且通过观察图像的变化得到其性质也是学习函数性质的通用方法。因此，本节课具有承上启下的重要作用。函数还有着非常广泛的实际应用；函数还是培养学生数学能力的良好题材，所以函数在初中数学中占着举足轻重的作用。函数的思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数形结合等数学思想方法，不仅是知识性方面，更重要的学习方法方面，作为一名数学老师,要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学方法，因此本节课在教学中力图向学生展示正比例函数图像的运动变化，通过观察、归纳体会数形结合数学思想方法。

二、学生情况分析

学生在七年级下册和前面的几节课已经学习了直角坐标系，理解变量与常量，正比例函数的概念，对给出的任意的自变量都能求出相应的正比例函数的值,能将每一对的有序数对与直角坐标系上的点进行转化，已经初步具备画好正比例函数图象的先决条件.但学生在一个新的领域中如何通过观察——猜想——归纳去发现问题和提出问题的能力有待于进一步的加强.如：如何有序有向观察函数图象和根据正比例函数图象去归纳概括性质的方法问题还会存在较大的问题，这是本节课的难点，也是学生认识的生长点. 三、

学习目标分析

1、知识技能：

（1）能画正比例函数的图像，并能结合公理和正比例函数图象特点快速作图；

（2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

2、

数学思考：初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性。

1

3、

问题解决：逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想。

4、情感态度：

（1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望；

（2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。

四、教学重点及难点分析

重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。

难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。

五、教法、学法分析

本节内容是在学生学习了变量和函数的基本概念基础上进行的。但他们对函数刚刚接触，函数对他们来说还是比较抽象难懂，所以在课堂教学中，不是老师单纯的传教知识，而是要在老师的指导下让学生自己学。要把教法融于学法中，在学法中体现教法。希望学生在本节课大胆地尝试、探究，在画图过程中培养动手动脑的能力，并在动手动脑的过程中逐步理解正比例函数的图象和性质。

（1）感受生活中存在大量的函数关系，了解函数的意义，通过简单的实际问题，使学生自发的寻找函数关系，让学生学会列出简单题目中的正比例函数关系。

（2）经历由具体实例建立正比例函数关系过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，在实际动手操作画图中，渗透数形结合的思想。并通过对问题的讨论归纳，让学生在“学生与学生”或“学生与老师”的交流过程中学习知识，争取做到不仅“学会”而且“会学”“乐学”。

基于以上两点考虑，我准备在课堂中重视小组讨论，讲练结合及学生自主归纳总结三种教学策略的应用。

小组讨论策略：班级原本就已经在安排位置的基础上把同组成员归在前后两桌，实行小组讨论方便有效，小组应在讨论中发挥领导的作用，做好记录，其他成员各施其职，注意有效参与。

2

探究引导策略：教师做重点提示讲解，最多动手画一两个图形，注意画图规范，切不可随手画直线等，学生作图时间较多，教师可抽空下位检查指导，并展示优秀作业，宽松课堂学习气氛，维持学生学习的动机。

自主合作探究式学习策略：通过学生合作交流或独立思考正比例函数的性质，促进思维的深层次加工和提高课堂参与度，也让学生有更多的体验成功的机会。

六、教学过程预设

教师活动

学生活动

设计意图

回顾正比例函数的概念，常数k和自变量x的取值范围。引导学生回顾画函数图象的一般方法和各个步骤。为后面研究函数图象与性质做好铺垫。

通过对自变量取值范围的分析，处理学生无序、混乱取思考回顾，学生举手回答：

一、温故知新

1、什么叫做正比例函数? 2、思考：画函数图象有哪些步骤？

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，

叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 1、列表，2、描点，3、连线

二、探究新知

（一）观察猜想

1、正比例函数的图象

学生思考回答。

例1 画出下列正比例函数的图学生将表格中填写的有序值，强调取值注意象： （1） y= 2x， y= x ； 数对转化为点坐标，通过事项，这是学生的点坐标将函数解析式和函生长点，也为后续数图象建立联系。通过增画其他正比例、一（2） y= -1.5x， y= -4x 。 大取点的密度，初步感受次函数、二次函数追问1 你能例举出满足正比正比例函数图象的形状和等图象扫清障碍。例函数y=2x这个解析式的自函数图象的连续性，连线，一方面让学生初步变量与函数的对应数值吗？师生共同画出函数图象。

感受函数图象的位（通过举例的方法，将抽象的

置和变化规律，学

3

解析式具化，提供观察的载

体。）

生更直观感受正比例函数图象的连线方式与延伸问题，体会运动变化与联系对应，另一方面也为后续观察图象特征，归纳函数性质做好准备。

学生对平面坐标系有所了解，但对数形结合的方法还不是很熟练，有必要给学生以示范。

追问2 你将如何选取和整理

这些对应数值？为什么？并填

入表格。（渗透自变量x取值

必须有向有序有代表性，这是

观察的前提。总结自变量x取

值方法：①代表性，有正有负；

②有序性：从小到大；③无限

性：可以取无数个值，用“…”

表示；④特殊性：x=0等.）

解：（1）函数y=2x中自变量

x可为任意实数。

1.列表

x … --0 1 2 …

0 2 4 …

2 1 y … --4 2 2.描点

3.连线

（2）函数y = -1.5x中自变量

x可为任意实数。

1.列表

x …

-2 -1 0 1 y …

3 1.5 2.描点

3.连线

0 -1

描点，连线导学案上完成。

2 …

-…

给学生独立动手的机会，加强作图练.5 3

4

试一试

习，为后续研究图象的性质做准备。

请在导学案上自己动手画出正

比例函数 y= x 的图象。

学生独立动手画。

画正比例函数的图像时，怎样学生思考回答。教师帮助

画最简单？为什么？

其归纳。

简化作图，理解两点法画正比例函数图象的合理性.

引导学生根据两点确定一条直线，可用两点法画正比例函数的图象。过原点和（1，k）画直线即可。

由于两点确定一条直线，画正

比例函数图象时我们只需描点

(0，0)和点 (1，k)，连线即可。

即两点作图法。

牛刀小试

用你认为最简单的方法画出下

列函数的图象：

y= -4x 学生举手回答。

3y=x（1）2；

（2） y =-3x．

（二）观察讨论

观察、比较两组函数图象的相由小组讨论，小组长做好引导学生观察图同点与不同点（形状、位置、登记，由小组派代表起来象，初步感知正比变化趋势）

发言，说出发现的结果或例函数的形状、位规律，老师及时给于肯定，置和变化情况，总并强调关键之处。

相同：经过原点；图像是一条直线

结描述函数图象特教师引导从函数图象的形征的角度，是学生状、位置和变化趋势等角认识的另一个生长度观察函数图象。

点，为后续研究其5

不同：图象所在的象限不同

；

“K”的值不同

（三）正比例函数的性质

1、文字语言

他函数特征提供观察的角度。

通过小组交流合作，有大量函数图象的视觉冲击下，在质疑答疑中，不断去验证、校对、修改和完善他们所发现的规律，发现规律的局限性和适用性（函数图象的规律受到k的正负的影响），逐步达成共识——所发现的规律应适用于所有研究对象，水到一般的，正比例函数y=kx（k

是常数，k≠0）的图象是一条

经过原点的直线，称为直线

y=kx.

当k>0时，直线y=kx经过

第三、第一象限，从左向右上

升，即随着x的增大y也增大；

学生齐读，加深理解。

当k<0时，直线y=kx经过

第二、第四象限，从左向右下

降，即随着x的增大y反而减

小。

2、图象结合

小组讨论，派代表上黑板渠成对k分成正负两类，总结每一类函数图象的特征。在这个过程中，学生先独立思考，在和同伴交流中学会思考，这是培养创新意识的核心。

体验数形结合的思想，渗透分类讨论思想和类比对比的学习方法。

正比例函数y= kx (k≠0) 的补充完整。

图象是经过原点(0,0)和点

(1,k)的一条直线。

解析式

图图象函数

象

位置

变化

y = kx (k＞0)

y = kx (k＜0)

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三、课堂练习

(一)学以致用

让学生自己拟题，同桌互考，教师巡视点评，内化知识的同时，提高学习积极性，巩固函数的图象和性质。

通过举例再验证，让学生感受所发现的规律的合情性。而作为课后思考的证明正比例函数性质部分，一方面可以让学生体会数学的严谨性和完整性，另一方面也为学生在比较两个代数式大小的问题上提供方法指导，让学生更深刻理解正你能举出一些正比例函数的例收集好题全班分享。

子吗？

1、由正比例函数解析式（根据

k的正、负），来判断其函数

图像分布在哪些象限。

2、由函数解析式，请你说出函

数的增减变化情况。

1. 函数y=－3x的图象在第

象限内,经过点(0, )与

点(1, ),y随x的增大

而 .

2. 函数y= x的图象在第

象限内,经过点(0, )与

点(1, ),y随x的增大

而 . （二）更上一层楼

教师引导学生通过解析式比例函数的性质，你能用更简洁的语言描述正比去分析满足的点的象限符知道“k＞0”

例函数的性质吗？（符号语言）

号的特征，解释象限的合“x1x2”和理性。教师提示学生可以 “y1y2”可以知通过不等式的性质或作差二推一。

时， 。 法去证明命题“当k＞0，这样的设计，主要当k <0，且

x1x2时，y1y2”成立，是让学生更多熟悉时， 。 留作课后思考。

数与形的结合，体当k ＞0，且（三）能力提升

1.下列函数图象有可能是y=－

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会数到形的转变，还为下一步的的探

8x的是( ) 究做好辅垫。

分层次设计练习，帮助不同层次的学生的学习。

2. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（ ）

A.m=1 B.m﹥1 C.m﹤1 D.m≧1 3．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2•的大小关系是（ ）

A．y1 > y2 B．y1 < y2 C．y1=y2 D．以上都有可能

四、课堂小结

（1）本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？

（2）正比例函数的图象及性质怎样？

不仅从数学知识技能方面，还要从数学方法和数学思想学生畅所欲言，老师在学上总结收获，教师生总结的基础上概括补再概括引导提升对正比例函数图象和性质的认识，初步了解研究一种函数模型的一般方法。

充。

（3）我们是怎样进行研究的？ （4）正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？

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五、布置作业

必做：教材98页习题19.2 第2题，第4题（1）

选做题：

比较大小：

（1）k1 k2； （2）k3 k4；

（3）比较k1，

k2， 学生不仅可以通过列表和图象去理解正比例函数的性质，还可以通过实

际问题情境再次感受正比例函数的性质.多种角度感受，丰富体验。

k3，k4大小，并用 不等号连接．

教学设计反思评价：

本课不是直接了当地进行介绍、灌输，而是通过各个活动，把学生带入主动探索的活动中来，引导学生动手画图、观察、分析，归纳极大地激发了学生的学习兴趣，练习中通过学生激烈的辩论使难点得到较好的解决，再结合实例，更加深了学生对定义的了解和掌握，收到了事半功倍的效果。上过课后发现：

1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。

2.本课的目标是让使学生会用待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式，进而理解待定系数法。通过本节课的教学及课后反馈，我发现以下问题需要注意和改进：（1）

学生在学习了一次函数的图象和性质的基础上学习本节课，大部分学生可以很快接受，但有少部分学生理解比较吃力，究其原因，发现是前面内

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容掌握不牢，理解不透造成的。所以我认为在本节课前有必要对前置内容加以深化。（2)因为待定系数法是首次引入，学生对新知识的理解进入状态较慢，很多学生因为吃不透概念而烦恼，课后，许多学生找到我反映问题，说对待定系数这种说法一知半解，要求重讲本课。所以我认为本节课讲的不成功，重复讲解，效果良好。

这些都是学习函数问题时应具备的基本功。

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