阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质优秀教案

三角形的“心”的向量表示及其应用

班级:高一6班(理一)

教师:苏婷 【学习目标】

1.通过知识梳理填空，复习三角形的“心”的概念及其向量表示; 2.通过典型例题讲解,掌握三角形的“心”的向量表示及其应用; 3.通过高考链接,了解高考对三角形的“心”的向量表示的要求和难易程度. 【教材分析】

在《平面向量》这一章，用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面．这充分体现了向量知识与平面几何知识的联系．例如以向量为视角研究三角形的“各心”，可以得到三角形“各心”的向量表示．由于三角形的“各心”与向量之间有着密切的联系，这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性．与三角形“各心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型，备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材．

【学情分析】

高一6班属于高一理科一层次班级,各方面基础比较扎实.在之前平面向量的学习中学生已经学习了三角形的四心及其向量表示.所以本课的内容对于学生来说,有比较厚实的基础.但之前的学习是比较零散的,没有形成相应的知识系统,需要通过本节课对之前学习的内容进行系统的复习梳理,加强学生对三角形的“心”的向量表示及其应用. 【学习重难点】

学习重点:三角形的“心”的概念及其向量表示

学习难点:三角形的“心”的向量表示及应用

【学习方法】

数形结合

【微专题研究】

数学后进生的转化个案分析

【学习过程】

预习案

(一)思维导图

三角形的“心”

复习三角形的“心”典型例题讲解

高考链接

概念及其向量表示

三角形的“心”的向量表示

（二）知识梳理

1.三角形各心的概念介绍

重心——

垂心——

内心——

外心——

根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．

2.三角形各心的向量表示

(1) O是ΔABC的重心

(2)

O是ΔABC的垂心

(3)

O是ΔABC的外心

探究案

三)典型例题分析

1.将平面向量与三角形外心结合考查

例1.若O为ΔABC内一点，|OA|=|OB|=|OC|，则O是ΔABC的（

）

A．三条高的交点

B．三条中线的交点

C．三个内角平分线的交点

D．三条边的垂直平分线的交点

2.将平面向量与三角形垂心结合考查

例2．(2005．湖南文)P是ΔABC所在平面上一点，若PA•PB=PB•PC=PC•PA，则P是ΔABC的（

）A．三条高的交点

B．三条中线的交点

C．三个内角的角平分线的交点

D．三条边的垂直平分线的交点

3.将平面向量与三角形内心结合考查

例3.(03年新课标)O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(ABAB+ACAC)，λ∈[0,+∞), 则P点的轨迹一定通过ΔABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

4.将平面向量与三角形重心结合考查

例4.P是△ABC所在平面内任一点,G是ΔABC的重心⇔

PG=13(PA+PB+PC).

(

训练案

高考链接

1.

(2009年．宁夏海南卷理)已知O,N,P在ΔABC所在平面内,且OA=OB=OC,NA+NB+NC=0, Ａ．外心

Ｂ．内心

C．重心

D．垂心

3.(课后思考)ΔABC外接圆的圆心为O，两条边上高的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m

= ．

板书设计

1.

三角形的“心”的概念 例题分析

2.

三角形的“心”的向量表示 复述小结

PA•PB=PB•PC=PC•PA,则点O,N,P依次是的（

）

A．重心、外心、垂心

B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心

D．外心、重心、内心

2.(2009年．陕西卷文)在ΔABC中，M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP=2PM，则

PA•PB+PC等于（

）

()Ａ．

Ｂ．49444

C．-

D．-

3393.(2005.全国理)ΔABC外接圆的圆心为O，两条边上中线的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m = ．

复述小结

1.三角形各心的概念介绍

重心——

垂心——

内心——

外心——

根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．

2.三角形各心的向量表示

(1) O是ΔABC的重心

(2)O是ΔABC的垂心

(3)O是ΔABC的外心

(4)动点P满足OP=OA+λ(

当堂检测

1.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，则P的轨迹一定通过ΔABC的（

）

Ａ．外心

Ｂ．内心

C．重心

D．垂心

2.在同一个平面上有ΔABC及一点O满足关系式：OA+BC=OB+CA=OC+AB，则Ｏ为ΔABC的（

）

222222ABAB+ACAC), 则P点的轨迹一定通过ΔABC的

)，λ∈[0,+∞