2.5.2 向量在物理中的应用举例ppt课件教学实录

《

平面向量的数量积

》

导学案

平面向量的数量积

[教学目标]

教学目标：掌握向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题，通过学习培养学生探索知识和合作交流的能力。

[重点难点]

重点：平面向量的数量积计算

难点：平面向量的数量积计算与应用问题

[复习回顾]

1．向量的夹角

定义

已知两个非零向量a―→―→和b，作OA＝a，OB＝b，则 （如图）就是a与b的夹角

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

叫做a与b的数量积，记作a·b

叫做向量a在b方向上的投影

叫做向量b在a方向上的投影

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围

是

θ＝0°或θ＝180°⇔

，

⇔a⊥b

图示

范围

共线与垂直

投影

几何

意义

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝

．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝

．

(3)(a＋b)·c＝

．

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．

结论

模

夹角

a⊥b的等价条件

几何表示

|a|＝a·a cos θ＝

a·b＝0

cos θ＝坐标表示

|a|＝

x1x2＋y1y2222x21＋y1·x2＋y2

＝0

[易错知识]

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．

3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．

4．在用|a|＝a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．

[自主学习]

1．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．

2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为(

) ππ2π5πA．

B．

C．

D．

63363．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

4．给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；

③(a·b)c＝a(b·c)；

④若a·b＝0，则a＝0或b＝0．

其中正确的说法有________个．

[典例探究]

题型一

平面向量的夹角问题

例1．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．

题型二

平面向量的模与向量的垂直问题

例2．已知不共线的两个向量a，b满足|a|＝2且

(2a－b)

⊥b，则|a－b|＝

(

) A．2

C．22

长沙县第一中学

龚德军

2019-5-7

B．2 D．4

《

平面向量的数量积

》

导学案

1变式：已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数3t的值为(

) A．4

9C．

4

题型三

平面向量的数量积的求法

例3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的―→―→中点，则AB·AD＝________．

[小结反思]

向量数量积的两种运算方法

方法

定义法

运用提示

当已知向量的模和夹角θ时，可利适用题型

适用于平面图形中的向量数量积B．－4 9D．－

4用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ

的有关计算问题

当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题

坐标法

法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2

平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b，要注意θ∈[0，π]．

|a|·|b|(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．

②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．

③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．

(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的等价条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．

反思：通过本节课的学习，你收获了什么呢？

[思维拓展]

1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(

) A．(－15,12)

C．－3

B．0 D．－11 2．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．

3．已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(

) πA．

6πC．

3πB．

4D．2π

34．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(

) A．30°

C．120°

B．60°

D．150°

5．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(

) A．2

C．2

6．已知平面向量a，b的夹角为A．3

C．3

B．3 D．4 2π，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(

) 3B．23 D．4 7．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．

(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

长沙县第一中学

龚德军

2019-5-7