2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示板书设计及意图

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

一、教学目标

掌握平面向量的正交分解及坐标表示

二、教学重难点

重点：平面向量的正交分解及坐标表示

难点：平面向量的正交分解及坐标表示

三、教学过程

（一）引入新课

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1

F2

G

在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．

【设计说明】学生探究回答．

（二）探究新知

平面向量的正交分解以及坐标表示

1．由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量

a均可以分解为不共线的两个向量a1,a2，使a1a12a2，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○

1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，

则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （三）运用新知

例1设e1、e2是平面内一组基底，证明：当1e12e20,时，恒有120.

证明：假设10,则由1e12e20,得

所以e1、e2是共线向量，与已知e1、e2是平面内一组基底相矛盾，所以10,

同理20,故恒有120.

变式练习：设两个非零向量a,b不共线，试确定实数k，使kab和akb共线

（97页12题）

例2用基底i,j分别表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标



2

aAA1AA22i3jybjA2Baa(2,3)b2i3j(2,3)c2i3j(2,3)Aid

xOcd2i3j(2,3)aAB(4,5)(2,2)(2,3)【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．

【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．

变式练习:

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

B

P

a

j

i

O A

a=23i+2j

（四）课堂小结 平面向量的正交分解以及坐标表示

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

（五）布置作业

P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

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