复习参考题优质教案设计

三角恒等变换

教学设计

一、教学目标

知识与技能

1、熟练掌握三角恒等变形的公式，理解三角恒等变换的基本思想，培养的定向思考和逆向思维能力，理解化归思想。

2、能独立分析和解决一些三角问题。

过程与方法

理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用. 情感、态度与价值观

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 二．重点难点 重点

三角恒等变换的模式

难点

对变换方法的理解和掌握

三、教材与学情分析

本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教

五、教学过程

（一）回顾反思，构建知识网络

1．本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：首先用向量方法推π导出C(α－β)，再用－β代替C(α－β)中的β得到C(α＋β)；接着用诱导公式sin(α±β)＝cos－(α±β)2π＝cos－α∓β2β)得到S(α＋β)与S(α－β)；将S(α＋β)除以C(α＋β)得到T(α＋β)，将S(α－β)除以C(α－β)得到T(α－；将S(α＋β)、C(α＋β)、T(α＋β)中的β换为α，得到S2α、C2α、T2α. 2．熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径．常用的角π－α2απα的变换有：α＝2·、4α＝2·2α、－＝、2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)、24222β＝(α＋β)－(α－β)＝(α＋β)＋(β－α)、α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)、β＝α＋β－2βαα－βα＋βα－β＝α＋β－α＋β.这些变换技巧需要同学们在平时解、＝α－－－β、2222222题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系． 3．时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如2tan απkππtan 2α＝中的α的限制条件是α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z)；其次是题中的角的范围也21－tanα224是有限制的.

题型一

三角函数式的化简与证明

三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段．

cos 10°[例1]

化简(tan 10°－3)·. sin 50°

132sin 10°－cos 10°2sin 10°－3cos 10°2cos 10°sin 10°－3·解

原式＝＝＝

cos 10°sin 50°sin 50°sin 50°＝2sin（10°－60°）－2sin 50°＝＝－2. sin 50°sin 50°归纳升华

本题中既有弦函数，又有切函数，由于涉及弦函数的公式较多，采用了切化弦的方法，有利于化简的进行；并用特殊角的三角函数表示特殊值，为逆用正弦的差角公式创造了条件，解法简捷，明快．

题型二

三角函数求值

三角函数求值主要有三种类型，即

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．

例2 求tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°的值．

解

tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°

＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°

＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°

＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3. sin 4αππ1π跟踪演练2 已知sin＋αsin－α＝，α∈，π，求的值．

21＋cosα4462ππ1解

∵sin＋αsin－α＝，

446ππ1π1∴sin＋αcos＋α＝，sin＋2α＝，

446231即cos 2α＝. 3π又α∈，π，2α∈(π，2π)，

2∴sin 2α＝－1－cos2α＝－222121－＝－. 332×－∴sin 4α2sin 2α·cos 2α＝＝21＋cosα1＋cos 2α1＋2221×3311＋31＋2

42＝－. 15题型三

三角恒等式的证明

sin α22三角恒等式的证明主要是利用sinα＋cosα＝1，＝tan α，二倍角公式等结论证明等式成立．一cos α般思路是从左向右或两头凑，注意函数名的统一，一般是切化弦．

例3 求证

1－2sin

xcos x1－tan x＝. cos2 x－sin2 x1＋tan xsin x1－cos xcos x－sin x（cos x－sin x）2证明

法一

右边＝＝＝

sin xcos x＋sin x（cos x－sin x）（cos x＋sin x）1＋cos x＝cos2x＋sin2 x－2sin xcos x1－2sin xcos x＝＝左边．所以原命题成立．

cos2 x－sin2 xcos2 x－sin2 xsin2 x＋cos2 x－2sin xcos x法二

左边＝＝

cos2x－sin2x（cos x－sin x）2cos x－sin x1－tan x＝＝＝右边，所以原命题成立．

cos2 x－sin2 xcos x＋sin x1＋tan x题型四

三角函数与三角变换的综合问题

利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值．因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是考试命题的热点．

解决三角恒等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切割化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．

xx2x例5 已知函数f(x)＝2sin cos －23sin＋3. 444(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；

π(2)令g(x)＝fx＋，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

3x2x解

(1)∵f(x)＝sin ＋31－2sin

42xxxπ＝sin ＋3cos ＝2sin＋. 22232π∴f(x)的最小正周期T＝＝4π. 12

xπ当sin＋＝－1时，f(x)取得最小值－2；

23xπ当sin＋＝1时，f(x)取得最大值2. 23xπ(2)由(1)知f(x)＝2sin＋，

23π又g(x)＝fx＋，

31ππxπ∴g(x)＝2sinx＋＋＝2sin＋

33222x＝2cos . 2xx∵g(－x)＝2cos－＝2cos ＝g(x)，

22∴函数g(x)是偶函数．

六、课堂小结

本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．

七、课后作业

课时练与测

八、教学反思

整个教学过程知识点过多，对于一个待优理科班来说，学生基础整体比较薄弱，因此难以消化过多的知识点

，再一个知识点过多也导致课堂中的侧重点太分散，学生不能把握到重点；讲解角的变换时应要强调如何进行变换，并要进行拓展练习；课堂教学语速太快，一些重要的知识点没有重点强调；对于学生板书展示，必须做到小组内统一；讲评题目时尽量要讲细点，深入点，多挖掘，多观察学生的反应，多与学生互动，多给学生练习和思考的空间．