2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案内容

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

四川省开江县普安中学

蒋培学

教学分析

在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标

1、知识与技能：

（1）理解平面向量的正交分解的概念；

（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念；

（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：

通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点

教学重点:

平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:

平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课

教

具：课件

教学过程：

一、

导入新课

回忆：平面向量基本定理

（利用课件动态演示平移过程，充分反应平面向量基本定理的实质，更好地为学生掌握这节课必备的知识做好准备）

即:

平面内的任意向量a，都可以用两个不共线向量e1，e2唯一表示。

物理问题：如图，在光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G

。现在将重力G分解成两个力，下滑力F1

，它的方向如何？木块对斜面的压力

F2

，它的方向又如何呢？那么这三个力有什么关系呢？请问F1

与F2有何位置关系？

G=F1+F2 F1⊥F2

（用课件动态做出三个力，展示力学中力的分解，从而引入本节课的第一个知识点：平面向量的正交分解）

二、

新课讲解：

知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

练习1：如图，向量i

、j

是两个互相垂直的单位向量，

向量a与i 的夹角是30°，|a|=6，怎样 用向量i

、j

表示向量a呢

？

（用课件将向量a进行分解，让学生更好地掌握平面向量的正交分解，为讲解向量的坐标打下基础）

在平面上，如果我们选取互相垂直的两个向量作为基底，会给我们的问题带来很方便。

特别地，在平面直角坐标系中, 常常分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、j

作为基底。

（通过课件将向量a进行正交分解，从而进入平面向量的坐标的讲解）

知识点二：平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、j作为基底. 则对于任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj （1） 那么，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a(x,y) （2）

其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标，（2）式叫做向量的坐标表示。

（通过课件讲解平面向量的坐标的概念，更清晰地反应了求平面向量的坐标的方法）

例1：求下列向量的坐标。

练习1

用i

、j表示下列各向量，并求出它们的坐标.

练习2 口答：用i

、j表示下列各向量

探究一：

把一个向量a放在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、j作为基底，向量a在平面直角坐标系内进行任意平移，我们看平移前与平移后会出现什么现象？

结论：向量a平移前后，向量的坐标是相同的。

向量a与有序实数对(x,y)是一一对应的. 充分反应平面向量基本定理的实质，培养

（通过课件反应了向量a在平移前与平移后的坐标是相同的，学生探索问题，解决问题的能力）

探究二：

当把向量平移到起点在坐标原点时，这时向量的坐标与向量终点的坐标有什么关系？

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

（通过课件动态反应了向量a平移到起点在坐标原点时，这时向量a的终点A的坐标与OA的坐标是相同的。当向量a的起点不在坐标原点原点时，这时向量的终点坐标就与向量的坐标不相同，更直观地反应了这一规律，从而培养学生探索问题、解决问题的能力）

结论：

当把向量平移到起点在坐标原点时，这时向量的坐标就是等于向量终点的坐标。

练习3

已知向量a＝(x +1

，

2-y)，现在把向量a平移到起点在坐标原点，得到OA

, 这时A(-2,3) ，求x、y的值。

解：由题意得

三、课堂小结

1.平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

2.平面向量的坐标表示: a=xｉ+yj a=(x,y)

向量a与有序实数对(x,y)一一对应. 注意：向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同。只有向量的起点在原点时，向量的坐标才才等于向量终点的坐标。

（充分利用课件进一步展示这节课学生所掌握的基本知识以及基本技能）

四、作业

1、完成教材第96页的例2； 2、练习册的第88页的基础练习第1、2、3题； 3、预习2.3.3平面向量的坐标运算。 板书设计：

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

1、向量的正交分解

2、向量的坐标表示

小结：

作业：

知识回顾

平面向量基本定理